a) Ta có
\(\eqalign{
& \overrightarrow {GA'} = - {1 \over 2}\overrightarrow {GA} ; \cr
& \overrightarrow {GB'} = - {1 \over 2}\overrightarrow {GB} ; \cr
& \overrightarrow {GC'} = - {1 \over 2}\overrightarrow {GC} \cr}\).
Vậy phép vị tự tâm \(G\) tỉ số \(k = - {1 \over 2}\) biến \(A, B, C\) thành \(A’, B’, C’\).
b) \(A’\) là trung điểm của dây \(BC\) nên \(OA’ ⊥ BC\)
Ta lại có \(BC // C’B’ \Rightarrow OA’ ⊥ B’C’ \). Tương tự \(B'O \bot A'C'\)
\(⇒\) Trong tam giác \(A’B’C’\), \(A'O \bot B'C',B'O \bot A'C'\) nên \(O\) là trực tâm của \(∆A’B’C’\).
\(H\) là trực tâm của \(∆ABC\) và \(O\) là trực tâm của \(∆A’B’C’\) nên \(O\) là ảnh của \(H\) trong phép vị tự tâm \(G\), tỉ số \(k = - {1 \over 2} \Rightarrow \overrightarrow {GO} = - {1 \over 2}\overrightarrow {GH} \)
\(⇒\) Ba điểm \(O, G, H\) thẳng hàng.
c) Gọi \({F_{\left( {G; - {1 \over 2}} \right)}(O)=O'}\) ta có:
\(\eqalign{
& \overrightarrow {GO'} = - {1 \over 2}\overrightarrow {GO} \cr
& \overrightarrow {GO} = - {1 \over 2}\overrightarrow {GH} \Rightarrow {OG} = {1 \over 2}\overrightarrow {GH} \cr
& \overrightarrow {OG} + \overrightarrow {GO'} = {1 \over 2}\overrightarrow {GH} - {1 \over 2}\overrightarrow {GO} \cr
& \Rightarrow \overrightarrow {OO'} = {1 \over 2}\left( {\overrightarrow {GH} - \overrightarrow {GO} } \right) \cr
& \Rightarrow \overrightarrow {OO'} = {1 \over 2}\overrightarrow {OH} \cr} \)
Suy ra \(O’\) là trung điểm của đoạn thẳng \(OH\).
d) Gọi A'', B'', C'' lần lượt là trung điểm của AH, BH, CH ta có:
\(\eqalign{
& \overrightarrow {HA''} = {1 \over 2}\overrightarrow {HA} \cr
& \overrightarrow {HB''} = {1 \over 2}\overrightarrow {HB} \cr
& \overrightarrow {HC''} = {1 \over 2}\overrightarrow {HC} \cr} \)
Vậy \(A”, B”, C”\) là ảnh của các điểm \(A, B, C\) trong phép vị tự \({V_{\left( {H;{1 \over 2}} \right)}}\).
Ta dễ dàng chứng minh được \(A_1',B_1',C_1'\) theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng \(H{A_1},H{B_1},H{C_1}\) nên:
\(\eqalign{
& \overrightarrow {H{A_1}'} = {1 \over 2}\overrightarrow {H{A_1}} \cr
& \overrightarrow {H{B_1}'} = {1 \over 2}\overrightarrow {H{B_1}} \cr
& \overrightarrow {H{C_1}'} = {1 \over 2}\overrightarrow {H{C_1}} \cr} \)
Như vậy \(A_1',B_1',C_1'\) theo thứ tự là ảnh của các điểm \(A_1, B_1, C_1\) trong phép vị tự \({V_{\left( {H;{1 \over 2}} \right)}}\)
e) Gọi \(A_2, B_2, C_2\) theo thứ tự là các điểm xuyên tâm đối của các điểm \(A, B, C\) qua tâm \(O\) của đường tròn. Ta dễ dàng chứng minh được tứ giác \(BHCA_2\) là hình bình hành, do đó \(H\) và \(A_2\) đối xứng qua \(A’\), ta có:
\(\eqalign{
& \overrightarrow {HA'} = {1 \over 2}\overrightarrow {H{A_2}} \cr
& \overrightarrow {HB'} = {1 \over 2}\overrightarrow {H{B_2}} \cr
& \overrightarrow {HC'} = {1 \over 2}\overrightarrow {H{C_2}} \cr} \)
Như vậy, các điểm \(A’, B’, C’\) theo thứ tự là ảnh của các điểm \(A_2, B_2, C_2\) trong phép vị tự \({V_{\left( {H;{1 \over 2}} \right)}}\).
Từ đó ta có:
Chín điểm \(A’, B’,C’,A”, B”,C”\), \(A_1',B_1',C_1'\) theo thứ tự là ảnh của các điểm \(A,B,C,{A_1},{B_1},{C_1},{A_2},{B_2},{C_2}\) trong phép tự vị \({V_{\left( {H;{1 \over 2}} \right)}}\) mà chín điểm \(A,B,C,{A_1},{B_1},{C_1},{A_2},{B_2},{C_2}\) nằm trên đường tròn \((O)\) nên chín điểm \(A,B,C,{A_1},{B_1},{C_1},{A_2},{B_2},{C_2}\) nằm trên đường tròn ảnh của đường tròn \((O)\) trong phép vị tự \({V_{\left( {H;{1 \over 2}} \right)}}\)
