a)
Khi quay lục giác dều ABCDEF quanh đường thẳng AD, ta được khối tròn xoay hợp bởi ba khối: Khối nón \({N_1}\) sinh bởi tam giác ABF, khối trụ T sinh bởi hình chữ nhật BCEF và khối nón \({N_2}\) sinh bởi tam giác DCE. Hai khối nón và trụ đều có bán kính đáy là \(R = {{BF} \over 2} = {{a\sqrt 3 } \over 2}.\) Khối trụ có chiều cao a và các khối nón có chiều cao \({a \over 2}.\) Vậy khối tròn xoay sinh bởi lục giác đã cho có thể tích là:
\(V = \pi {\left( {{{a\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2}a + 2.{1 \over 3}\pi {\left( {{{a\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2}.{a \over 2} = \pi {a^3}.\)
b)
Gọi \(\Delta \) là đường thẳng nối trung điểm của AB và ED. Khi đó BC và AF cắt nhau tại điểm O trên \(\Delta \), Cd và FE cắt nhau tại O’ trên \(\Delta \). Gọi V, \({V_1},{V_2}\) là thể tích các khối tròn xoay lần lượt sinh ra bởi lục giác đều ABCDEF, tam giác OCF và tam giác OAB khi quay quanh \(\Delta \), ta có:
\(\eqalign{
& {V_1} = {1 \over 3}\pi {a^2}a\sqrt 3 = {{\pi {a^3}\sqrt 3 } \over 3} \cr
& {V_2} = {1 \over 3}\pi {\left( {{a \over 2}} \right)^2}{{a\sqrt 3 } \over 2} = {{\pi {a^3}\sqrt 3 } \over {24}}. \cr} \)
Do đó \(V = 2\left( {{V_1} - {V_2}} \right) = {{7\sqrt 3 \pi {a^3}} \over {12}}.\)