a) Ta có:
\(\eqalign{
& \overrightarrow {AB} = \left( {3, - 3, - 8} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {4,0, - 4} \right). \cr
& \overrightarrow {AD} = \left( {0, - 3,1} \right) \cr
& \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {12, - 20,12} \right),\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} = 72 \ne 0. \cr} \)
Vậy bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.
b) Giả sử mặt cầu (S) có phương trình: \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz = 0\).
Vì \(A,B,C,D \in \left( S \right)\) nên ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \matrix{ 1 + 25 + 9 - 2a - 10b - 6c + d = 0 \hfill \cr 16 + 4 + 25 - 8a - 4b + 10c + d = 0 \hfill \cr 1 + 4 + 16 - 2a - 4b - 8c + d = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ 3a - 3b - 8c = 5 \hfill \cr a - c = 2 \hfill \cr - 3b + c = - 7 \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ a = 1 \hfill \cr b = 2 \hfill \cr c = - 1 \hfill \cr d = - 19 \hfill \cr} \right.\)
Vậy \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y + 2z - 19 = 0.\)
Mặt cầu (S) có tâm \(I\left( {1,2, - 1} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {1 + 4 + 1 + 19} = 5.\)
c) Mp(ABC) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {12, - 20,12} \right) = 4\left( {3, - 5,3} \right).\)
Mp(ABC) đi qua \(A\left( {1,5,3} \right)\) nên có phương trình:
\(3\left( {x - 1} \right) - 5\left( {y - 5} \right) + 3\left( {z - 3} \right)0 \Leftrightarrow 3x - 5y + 3z + 13 = 0.\)
Khoảng cách từ D đến mp(ABC) là: \(h = {{\left| {3.1 - 5.2 + 3.4 + 13} \right|} \over {\sqrt {{3^2} + {5^2} + {3^2}} }} = {{18} \over {\sqrt {43} }}\).
d) Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) vuông góc với CD có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {CD} = \left( { - 4, - 3,5} \right)\) nên có phương trình:
\( - 4x - 3y + 5z + d = 0.\)
Mặt phẳng đó tiếp xúc với mặt cầu (S) khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm \(I\left( {1,2, - 1} \right)\) của mặt cầu(S) tới mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) bằng 5, tức là:
\({{\left| { - 4.1 - 3.2 - 5.1 + d} \right|} \over {\sqrt {16 + 9 + 25} }} = 5 \Leftrightarrow {{\left| { - 15 + d} \right|} \over {\sqrt {50} }} = 5 \Leftrightarrow d = 15 \pm 25\sqrt 2 .\)
Vậy \(\left( \alpha \right): - 4x - 2y + 5z + 15 \pm 25\sqrt 2 = 0.\)
e) Mặt cầu (S) có tâm \(I\left( {1,2, - 1} \right)\), mp(Oxy) có phương trình là z = 0. Khoảng cách từ điểm I đến mp(Oxy) là \({d_1} = \left| { - 1} \right| = 1 < R\) nên (S) cắt mặt phẳng theo đường tròn có bán kính là \({r_1} = \sqrt {{R^2} - d_1^2} = \sqrt {25 - 1} = 2\sqrt 6 .\)
Tương tự mp(Oyz) có phương trình là x = 0. Khoảng cách từ tâm I đến mp(Oyz) là \({d_2} = \left| 1 \right| = 1 < R\) nên (S) cắt mp(Oyz) theo đường tròn có bán kính là \({r_2} = \sqrt {{R^2} - d_2^2} = \sqrt {25 - 1} = 2\sqrt 6 .\)
Tương tự mp(Oxz) có phương trình là y = 0. Khoảng cách từ tâm I đến mp(Oxz) là \({d_3} = \left| 2 \right| = 2 < R\) nên (S) cắt mp(Oyz) theo đường tròn có bán kính là \({r_3} = \sqrt {{R^2} - d_3^2} = \sqrt {25 - 4} = \sqrt {21} .\)