Mặt phẳng \(2x - my + 3z - 6 + m = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2; - m;3} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( {m + 3} \right)x - 2y + \left( {5m + 1} \right)z - 10 = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {m + 3; - 2;5m + 1} \right)\).
Ta có\(\left[ {\overrightarrow {{n_1}} ;\overrightarrow {{n_2}} } \right] = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
- 5{m^2} - m + 6 = 0 \hfill \cr
- 7m + 7 = 0 \hfill \cr
{m^2} + 3m - 4 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow m = 1\)Với m = 1 thì hai mặt phẳng có phương trình \(2x - y + 3z - 5 = 0\) và \(4x - 2y + 6z - 10 = 0\) nên chúng trùng nhau. Vậy:a) Không tồn tại m để hai mặt phẳng đó song song.
b) Với m = 1 thì hai mặt phẳng đó trùng nhau.
c) Với \(m \ne 1\) thì hai mặt phẳng đó cắt nhau.
d) Hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau khi và chỉ khi\(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 0 \Leftrightarrow 2\left( {m + 3} \right) + 2m + 3\left( {5m + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 19m + 9 = 0 \Leftrightarrow m = {{ - 9} \over {19}}\)
