a) Ta có:
\(\eqalign{
& \overrightarrow {AM} = {2 \over 3}\overrightarrow {AB} \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\overrightarrow {AM} \uparrow \uparrow \overrightarrow {AB} \hfill \cr
AM = {2 \over 3}AB \hfill \cr} \right. \cr
& \overrightarrow {AN} = - {2 \over 3}\overrightarrow {AC} \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\overrightarrow {AN} \uparrow \downarrow \overrightarrow {AC} \hfill \cr
AN = {2 \over 3}AC \hfill \cr} \right. \cr} \)
Vậy \(M\) thuộc đoạn \(AB\) sao cho \(AM = {2 \over 3}AB \) và \(N\) thuộc tia đối của tia \(AC\) sao cho \(AN = {2 \over 3}AC .\)
b) Ta có:
\(\eqalign{
& \overrightarrow {AM} = \alpha \overrightarrow {AB} \cr
& \overrightarrow {AN} = \beta \overrightarrow {AC} \cr
& \Rightarrow \overrightarrow {AM} - \overrightarrow {AN} = \alpha \overrightarrow {AB} - \beta \overrightarrow {AC} \cr
& \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \alpha \overrightarrow {AB} - \beta \overrightarrow {AC} \cr
& \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \alpha (\overrightarrow {AB} - {\beta \over \alpha }\overrightarrow {AC} ),\alpha \ne 0 \cr} \)
Ta cũng có: \(\overrightarrow {BC} = - (\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} )\)
Do đó, để \(MN // BC\) thì
\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {MN} = k\overrightarrow {BC} \\ \Leftrightarrow \beta \overrightarrow {AC} - \alpha \overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AC} - k\overrightarrow {AB} .\\
\Rightarrow \beta = \alpha = k.
\end{array}\)
Vậy \(MN//BC \Leftrightarrow \beta = \alpha .\)
