a) Đặt \({\rm{w}} = z + 3 - i\) ta được phương trình:
\(\eqalign{ & {{\rm{w}}^2} - 6{\rm{w}}+ 13 = 0 \Leftrightarrow {\left( {{\rm{w}} - 3} \right)^2} = - 4 = 4{i^2} \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ {\rm{w}} = 3 + 2i \hfill \cr {\rm{w}} = 3 - 2i \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ z + 3 - i = 3 + 2i \hfill \cr z + 3 - i = 3 - 2i \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ z = 3i \hfill \cr z = - i \hfill \cr} \right. \cr} \)
Vậy \(S = \left\{ { - i;3i} \right\}\)
b) Đặt \({\rm{w}} = {{iz + 3} \over {z - 2i}}\) ta được phương trình: \({{\rm{w}}^2} - 3{\rm{w}} - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ {\rm{w}} = - 1 \hfill \cr {\rm{w}} = 4 \hfill \cr} \right.\)
Với \({\rm{w}} = -1\) ta có \({{iz + 3} \over {z - 2i}} = - 1 \Leftrightarrow iz + 3 = - z + 2i\)
\( \Leftrightarrow \left( {i + 1} \right)z = - 3 + 2i \Leftrightarrow z = {{ - 3 + 2i} \over {1 + i}} = {{\left( { - 3 + 2i} \right)\left( {1 - i} \right)} \over 2} = {{ - 1 + 5i} \over 2}\)
Với \({\rm{w}} = 4\) ta có \({{iz + 3} \over {z - 2i}} = 4 \Leftrightarrow \left( {4 - i} \right)z = 3 + 8i\)
\( \Leftrightarrow z = {{3 + 8i} \over {4 - i}} = {{\left( {3 + 8i} \right)\left( {4 + i} \right)} \over {17}} = {{4 + 35i} \over {17}}\)
Vậy \(S = \left\{ {{{ - 1 + 5i} \over 2};{{4 + 35} \over {17}}} \right\}\)
\(c)\,{\left( {{z^2} + 1} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = {\left( {{z^2} + 1} \right)^2} - {\left[ {i\left( {z + 3} \right)} \right]^2}\)
\( = \left( {{z^2} + 1 + i\left( {z + 3} \right)} \right)\left( {{z^2} + 1 - i\left( {z + 3} \right)} \right) = 0\)
\(\Leftrightarrow\left[ \matrix{ {z^2} + 1 + i\left( {z + 3} \right) = 0\,\,\left( 1 \right) \hfill \cr {z^2} + 1 - i\left( {z + 3} \right) = 0\,\,\,\left( 2 \right) \hfill \cr} \right.\)
Phương trình (1) là phương trình bậc hai \({z^2} + iz + 1 + 3i = 0\);
\(\Delta = - 5 - 12i = {\left( {2 - 3i} \right)^2}\)
Phương trình có hai nghiệm là \({z_1} = 1 - 2i\) và \({z_2} = - 1 + i\).
Phương trình (2) là phương trình bậc hai \({z^2} - iz + 1 - 3i = 0\);
\(\Delta = - 5 + 12i = {\left( {2 + 3i} \right)^2}\)
Phương trình có hai nghiệm là \({z_3} = 1 + 2i\) và \({z_4} = - 1 - i\)
Vậy \(S = \left\{ {1 - 2i; - 1 + i;1 + 2i; - 1 - i} \right\}\)
