Bài 2. Căn bậc hai của số phức và phương trình bậc hai

Bài Tập và lời giải

Bài 17 trang 195 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Bài 17

Tìm các căn bậc hai của mỗi số phức sau:\( - i\);\(4i\);\( - 4\);\(1 + 4\sqrt 3 i\).

Xem lời giải

Bài 18 trang 196 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao
Bài 18Chứng minh rằng nếu \(z\) là một căn bậc hai của số phức \({\rm{w}}\) thì  \(\left| z \right| = \sqrt {\left| {\rm{w}} \right|} \).

Xem lời giải

Bài 19 trang 196 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Bài 19

Tìm nghiệm phức của các phương trình bậc hai sau:

a) \({z^2} = z + 1\);

b) \({z^2} + 2z + 5 = 0\)

c) \({z^2} + \left( {1 - 3i} \right)z - 2\left( {1 + i} \right) = 0\).

Xem lời giải

Bài 20 trang 196 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Bài 20

a) Hỏi công thức Vi-ét về phương trình bậc hai với hệ số thực có còn đúng cho phương trình bậc hai với hệ số phức không? Vì sao?

b) Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng \(4 – i\) và tích của chúng bằng \(5(1 – i)\)

c) Có phải mọi phương trình bậc hai \({z^2} + Bz + C = 0\) (\(B, C\) là hai số phức) nhận hai nghiệm là hai số phức liên hợp không thực phải có các hệ số \(B, C\) là hai số thực? Vì sao? Điều ngược lại có đúng không?

Xem lời giải

Bài 21 trang 197 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Bài 21

a) Giải phương trình: \(\left( {{z^2} + i} \right)\left( {{z^2} - 2iz - 1} \right) = 0\)

b) Tìm số phức B để phương trình bậc hai \({z^2} + Bz + 3i = 0\) có tổng bình phương hai nghiệm bằng 8.

Xem lời giải

Bài 22 trang 197 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Bài 22

Đố vui. Một học sinh kí hiệu một căn bậc hai của \(-1\) là \(\sqrt { - 1} \) và tính \(\sqrt { - 1} \).\(\sqrt { - 1} \) như sau:

a) Theo định nghĩa căn bậc hai của \(-1\) thì  \(\sqrt { - 1} \).\(\sqrt { - 1} = - 1\) .

b) Theo tính chất của căn bậc hai ( tính của hai căn bậc hai của hai số bằng căn bậc hai của tích hai số đó ) thì \(\sqrt { - 1} .\sqrt { - 1}  = \sqrt {\left( { - 1} \right).\left( { - 1} \right)}  = \sqrt 1  = 1\)

Từ đó, học sinh đó suy ra \(-1 = 1\)

Hãy tìm điều sai trong lập luận trên.

Xem lời giải

Bài 23 trang 199 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Bài 23

Tìm nghiệm phức phương trình \(z + {1 \over z} = k\) trong các trường hợp sau:

a) \(k = 1\);                

b) \(k = \sqrt 2 \)                       

c) \(k = 2i\)

Xem lời giải

Bài 24 trang 199 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Bài 24

Giải các phương trình sau trên C và biểu diễn hình hợp tập hợp các nghiệm của mỗi phương trình (trong mặt phẳng phức):

a)\({z^3} + 1 = 0\);                                               

b) \({z^4} - 1 = 0\);

c) \({z^4} + 4 = 0\);                                          

d) \(8{z^4} + 8{z^3} = z + 1\).

Xem lời giải

Bài 25 trang 199 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Bài 25

a) Tìm các số thực b, c để phương trình (với ẩn z):

                \({z^2} + bz + c = 0\) 

nhận \(z = 1 + i\) làm một nghiệm.

b) Tìm các số thực a, b, c để phương trình (với ẩn z):

                      \({z^3} + a{z^2} + bz + c = 0\) 

nhận \(z = 1 + i\) làm nghiệm và cũng nhận \(z = 2\) là nghiệm.

Xem lời giải

Bài 26 trang 199 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Bài 26

a) Dùng công thức cộng trong lượng giác để chứng minh rằng với mọi số thực \(\varphi \), ta có  \({\left( {\cos \varphi  + i\sin \varphi } \right)^2} = \cos 2\varphi  + i\sin 2\varphi \).

Từ đó hãy tìm mọi căn bậc hai của số phức \(\cos 2\varphi  + i\sin 2\varphi \). Hãy so sánh cách giải này với cách giải trong bài học ở bài 2.

b) Tìm các căn bậc hai của \({{\sqrt 2 } \over 2}\left( {1 - i} \right)\) bằng hai cách nói ở câu a).

Xem lời giải

Quote Of The Day

“Two things are infinite: the universe and human stupidity; and I'm not sure about the universe.”