Bài 2. Căn bậc hai của số phức và phương trình bậc hai

Bài 17

Tìm các căn bậc hai của mỗi số phức sau:\( - i\);\(4i\);\( - 4\);\(1 + 4\sqrt 3 i\).

Bài 19

Tìm nghiệm phức của các phương trình bậc hai sau:

a) \({z^2} = z + 1\);

b) \({z^2} + 2z + 5 = 0\)

c) \({z^2} + \left( {1 - 3i} \right)z - 2\left( {1 + i} \right) = 0\).

Bài 20

a) Hỏi công thức Vi-ét về phương trình bậc hai với hệ số thực có còn đúng cho phương trình bậc hai với hệ số phức không? Vì sao?

b) Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng \(4 – i\) và tích của chúng bằng \(5(1 – i)\)

c) Có phải mọi phương trình bậc hai \({z^2} + Bz + C = 0\) (\(B, C\) là hai số phức) nhận hai nghiệm là hai số phức liên hợp không thực phải có các hệ số \(B, C\) là hai số thực? Vì sao? Điều ngược lại có đúng không?

Bài 21

a) Giải phương trình: \(\left( {{z^2} + i} \right)\left( {{z^2} - 2iz - 1} \right) = 0\)

b) Tìm số phức B để phương trình bậc hai \({z^2} + Bz + 3i = 0\) có tổng bình phương hai nghiệm bằng 8.

Bài 22

Đố vui. Một học sinh kí hiệu một căn bậc hai của \(-1\) là \(\sqrt { - 1} \) và tính \(\sqrt { - 1} \).\(\sqrt { - 1} \) như sau:

a) Theo định nghĩa căn bậc hai của \(-1\) thì  \(\sqrt { - 1} \).\(\sqrt { - 1} = - 1\) .

b) Theo tính chất của căn bậc hai ( tính của hai căn bậc hai của hai số bằng căn bậc hai của tích hai số đó ) thì \(\sqrt { - 1} .\sqrt { - 1}  = \sqrt {\left( { - 1} \right).\left( { - 1} \right)}  = \sqrt 1  = 1\)

Từ đó, học sinh đó suy ra \(-1 = 1\)

Hãy tìm điều sai trong lập luận trên.

Bài 23

Tìm nghiệm phức phương trình \(z + {1 \over z} = k\) trong các trường hợp sau:

a) \(k = 1\);                

b) \(k = \sqrt 2 \)                       

c) \(k = 2i\)

Bài 24

Giải các phương trình sau trên C và biểu diễn hình hợp tập hợp các nghiệm của mỗi phương trình (trong mặt phẳng phức):

a)\({z^3} + 1 = 0\);                                               

b) \({z^4} - 1 = 0\);

c) \({z^4} + 4 = 0\);                                          

d) \(8{z^4} + 8{z^3} = z + 1\).

Bài 25

a) Tìm các số thực b, c để phương trình (với ẩn z):

                \({z^2} + bz + c = 0\) 

nhận \(z = 1 + i\) làm một nghiệm.

b) Tìm các số thực a, b, c để phương trình (với ẩn z):

                      \({z^3} + a{z^2} + bz + c = 0\) 

nhận \(z = 1 + i\) làm nghiệm và cũng nhận \(z = 2\) là nghiệm.

Bài 26

a) Dùng công thức cộng trong lượng giác để chứng minh rằng với mọi số thực \(\varphi \), ta có  \({\left( {\cos \varphi  + i\sin \varphi } \right)^2} = \cos 2\varphi  + i\sin 2\varphi \).

Từ đó hãy tìm mọi căn bậc hai của số phức \(\cos 2\varphi  + i\sin 2\varphi \). Hãy so sánh cách giải này với cách giải trong bài học ở bài 2.

b) Tìm các căn bậc hai của \({{\sqrt 2 } \over 2}\left( {1 - i} \right)\) bằng hai cách nói ở câu a).