Câu 1:
a) Điều kiện để \(\sqrt A \) có nghĩa là \(A \ge 0\).
Áp dụng: \(\sqrt {3x - 7} \) có nghĩa khi \(3x - 7 \ge 0\)\( \Leftrightarrow 3x \ge 7\,\, \Leftrightarrow x \ge \dfrac{7}{3}\)
Vậy với \(x \ge \dfrac{7}{3}\) thì \(\sqrt {3x - 7} \) có nghĩa.
b) Ta có:
\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{2}\sqrt {48} - 2\sqrt {75} + \dfrac{{\sqrt {33} }}{{\sqrt {11} }} = \dfrac{1}{2}\sqrt {16.3} - 2\sqrt {25.3} + \sqrt {\dfrac{{33}}{{11}}} \\ = \dfrac{1}{2}.4\sqrt 3 - 2.5\sqrt 3 + \sqrt 3 \\ = 2\sqrt 3 - 10\sqrt 3 + \sqrt 3 \\ = - 7\sqrt 3 \end{array}\)
c) Điều kiện: \(x > 0,\;\;x \ne 1.\)
\(\begin{array}{l}P = \left( {\dfrac{{x\sqrt x - 1}}{{x - \sqrt x }} - \dfrac{{x\sqrt x + 1}}{{x + \sqrt x }}} \right):\left[ {\dfrac{{2\left( {x - 2\sqrt x + 1} \right)}}{{x - 1}}} \right]\\ = \left[ {\dfrac{{{{\left( {\sqrt x } \right)}^3} - {1^3}}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}} - \dfrac{{{{\left( {\sqrt x } \right)}^3} + {1^3}}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}} \right]:\left[ {\dfrac{{2{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {\sqrt x } \right)}^2} - 1}}} \right]\\ = \left[ {\dfrac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}} - \dfrac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {x - \sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}} \right]:\left[ {\dfrac{{2{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}} \right]\\ = \left( {\dfrac{{\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x }} - \dfrac{{\left( {x - \sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x }}} \right):\dfrac{{2\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\sqrt x + 1}}\\ = \dfrac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x }}.\dfrac{{\sqrt x + 1}}{{2\left( {\sqrt x - 1} \right)}} = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}\end{array}\)
Câu 2:
a) Hàm số đã cho đồng biến trên \(\mathbb{R}\) vì \(a = 2 > 0\).
b) Vẽ đồ thị hàm số \(y = 2x - 2\)
Cho \(x = 0 \Rightarrow y = - 2\), ta được điểm \((0; - 2)\) thuộc đường thẳng \(y = 2x - 2\);
\(y = 0 \Rightarrow x = 1\), ta được điểm \((1;0)\) thuộc đường thẳng \(y = 2x - 2\).
Vậy đồ thị hàm số \(y = 2x - 2\)là đường thẳng đi qua 2 điểm \(\left( {0; - 2} \right),\;\left( {1;\;0} \right).\;\)
Đồ thị hàm số như hình vẽ bên:
c) Đường thẳng \(y = (m - 1)x + 3\,\,(m \ne 1)\) song song với đường thẳng \(y = 2x - 2\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow m - 1 = 2\\ \Leftrightarrow m = 3\end{array}\) (vì \(3 \ne - 2\))
Câu 3:
\(\begin{array}{l}\;\;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}3x + y = 3\\2x - y = 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 3 - 3x\\2x - (3 - 3x) = 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 3 - 3x\\2x - 3 + 3x = 7\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 3 - 3x\\5x = 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 3 - 3.2\\x = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = - 3\\x = 2\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là \((x;y) = (2; - 3).\)
Câu 4:
Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có:
\(\begin{array}{l}A{H^2} = BH.CH\\ \Rightarrow AH = \sqrt {BH.CH} = \sqrt {9.25} = \sqrt {225} \\ \Rightarrow AH = 15cm\end{array}\)
Câu 5:
a) Ta có:
\(AM = AN,\,\,\,AO\) là tia phân giác của góc \(A\) (tính chất của hai
tiếp tuyến cắt nhau)
\( \Rightarrow \Delta AMN\) cân tại \(A\), có \(AO\) là tia phân giác của góc \(A\)
\( \Rightarrow AO\) là đường cao ứng với cạnh \(MN\)
\( \Rightarrow AO \bot MN\;\;\left( {dpcm} \right).\)
b) Gọi \(H\) là giao điểm của \(MN\) và \(OA\), có \(AO \bot MN\)(tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau).
\( \Rightarrow MH = HN\) (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây)
MÀ \(CO = ON\) (cùng bán kính \((O)\))
\( \Rightarrow HO\) là đường trung bình của tam giác \(MNC\)
\( \Rightarrow HO//MC,\) do đó \(MC//AO.\)
