Đề số 9 - Đề kiểm tra học kì 1 - Toán 9

Phần I: Trắc nghiệm 

Hãy chọn chữ cái đứng trước câu trả lời đúng cho các câu hỏi sau:

Câu 1 : Điều kiện để biểu thức\(A = \dfrac{{2017}}{{\sqrt x  - 1}}\) xác định là:

A.\(x > 0\)                  

B.\(x > 1\)

C.\(x > 0,x \ne 1\)        

D.\(x \ge 0,x \ne 1\)

Câu 2 (TH): Cho\(\sqrt {x - 1}  = 2\), giá trị của \(x\) là:

A.\( - 3\)                                  B.3

C.\( - 1\)                                  D.5

Câu 3 : Cho biểu thức \(P = \sqrt {\dfrac{{5a}}{{32}}} .\sqrt {\dfrac{{2a}}{5}} \) với \(a \ge 0\), kết quả thu gọn của \(P\) là:

A.\(\dfrac{{\sqrt a }}{{16}}\).                         B.\(\dfrac{a}{4}\).

C.\(\dfrac{a}{{16}}\).                         D.\(\dfrac{{\sqrt a }}{4}\).

Câu 4 : Trong các hàm số dưới đây, hàm số bậc nhất có đồ thị đi qua điểm \(A\left( {1;4} \right)\)là:

A.\(y = {x^2} + 3\)    B.\(y = x - 3\)

C.\(y = 4x\).                D.\(y = 4 - x\).

Câu 5 : Cho 2 đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right):y = \left( {{m^2} + 1} \right)x + 2\) và \(\left( {{d_2}} \right):y = 5x + m\). Hai đường thẳng đó trùng nhau khi:

A.\(m =  \pm 2\)               B.\(m = 2\)

C.\(m =  - 2\)               D.\(m \ne  \pm 2\)

Câu 6 : Cho tam giác ABC vuông tại A. Trong các hệ thức sau, hệ thức đúng là:

A.\(\sin C = \dfrac{{BC}}{{AC}}\) 

B.\(\cos C = \dfrac{{BC}}{{AC}}\)  

C.\(\tan C = \dfrac{{AB}}{{AC}}\) 

D.\(\cot C = \dfrac{{AB}}{{AC}}\)

Câu 7 : Cho hai điểm phân biệt A, B. Số đường thẳng đi qua hai điểm A, B là:

A.0                              B.1

C.2                              D.Vô số

Câu 8 : Cho hình vẽ, MA và MB là hai tiếp tuyến của đường tròn \(\left( {O,3cm} \right)\), \(MA = 4cm\). Độ dài đoạn thẳng AB là: A.4,8cm          B.2,4cm C.1,2cm          D.9,6cm

Phần II. Tự luận 

Câu 1

            Cho hai biểu thức \(A = \dfrac{{\sqrt x  - 5}}{{\sqrt x }}\) và \(B = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 5}} - \dfrac{{3\sqrt x }}{{x - 25}}\) với\(x > 0,x \ne 25\).

a) Tính giá trị biểu thức \(A\) khi\(x = 81\).

b) Cho\(P = A.B\), chứng minh rằng \(P = \dfrac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  + 5}}\)

c) So sánh \(P\) và\({P^2}\).

Câu 2

Cho hàm số \(y = \left( {m + 2} \right)x + 2{m^2} + 1\) (\(m\)là tham số)

a)Vẽ đồ thị hàm số trên khi\(m =  - 1\). 

b)Tìm \(m\)để hai đường thẳng \(\left( d \right)y = \left( {m + 2} \right)x + 2{m^2} + 1\)và \(\left( {d'} \right):y = 3x + 3\) cắt nhau tại một điểm trên trục tung.

Câu 3

            Cho đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính AB và điểm C thuộc đường tròn \(\left( O \right)\)(C khác Avà B) sao cho\(AC > BC\). Qua O vẽ đường thẳng vuông góc với dây cung AC tại H. Tiếp tuyến tại Acủa đường tròn \(\left( O \right)\) cắt OHtại D. Đoạn thẳng DB cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại E.

a) Chứng minh \(HA = HC,\angle DCO = {90^o}\)

b) Chứng minh rằng \(DH.DO = DE.DB\)

c) Trên tia đối của tia EA lấy điểm F sao cho Elà trung điểm cạnh AF. Từ F vẽ đường thẳng vuông góc với đường thẳng AD tại K. Đoạn thẳng FK cắt đường thẳng BC tại M. Chứng minh\(MK = MF\).

Câu 4

Cho các số dương \(x,y\) thoả mãn\(x + y \le \dfrac{4}{3}\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\(S = x + y + \dfrac{3}{{4x}} + \dfrac{3}{{4y}}\)

Phần I:

Phần II:

Câu 1: Cho hai biểu thức \(A = \dfrac{{\sqrt x  - 5}}{{\sqrt x }}\) và \(B = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 5}} - \dfrac{{3\sqrt x }}{{x - 25}}\) với\(x > 0,x \ne 25\).

a)      Tính giá trị biểu thức \(A\) khi \(x = 81\).

Với\(x = 81\) ta có\(A = \dfrac{{\sqrt {81}  - 5}}{{\sqrt {81} }} = \dfrac{{9 - 5}}{9} = \dfrac{4}{9}\).

Vậy với \(x = 81\) ta có\(A = \dfrac{4}{9}\).

b)     Cho \(P = A.B\), chứng minh rằng \(P = \dfrac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  + 5}}\)

\(\begin{array}{l}B = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 5}} - \dfrac{{3\sqrt x }}{{x - 25}}\\\;\;\; = \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 5} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 5} \right)\left( {\sqrt x  + 5} \right)}} - \dfrac{{3\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 5} \right)\left( {\sqrt x  + 5} \right)}}\\\;\;\; = \dfrac{{x + 5\sqrt x  - 3\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 5} \right)\left( {\sqrt x  + 5} \right)}} = \dfrac{{x - 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 5} \right)\left( {\sqrt x  + 5} \right)}}.\end{array}\)

Xét\(P = A.B = \dfrac{{\sqrt x  - 5}}{{\sqrt x }}.\dfrac{{x + 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 5} \right)\left( {\sqrt x  + 5} \right)}} \)\(\;= \dfrac{{\sqrt x  - 5}}{{\sqrt x }}.\dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 5} \right)\left( {\sqrt x  - 5} \right)}} \)\(\;= \dfrac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  + 5}}\).

Vậy \(P = \dfrac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  + 5}}\).\(\)

c)      So sánh \(P\) và \({P^2}\).

Xét hiệu \(P - {P^2} = P\left( {1 - P} \right)\).

Nhận thấy: \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt x  + 2 > 0\;\forall x > 0\\\sqrt x  + 5 > 0\;\forall x > 0\end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  + 5}} > 0\;\forall x > 0 \Rightarrow P > 0\;\forall x > 0\).               (1)

Xét \(1 - P = 1 - \dfrac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  + 5}} = \dfrac{{\sqrt x  + 5 - \left( {\sqrt x  + 2} \right)}}{{\sqrt x  + 5}} = \dfrac{3}{{\sqrt x  + 5}}\).

Vì \(\sqrt x  + 5 > 0\;\forall x > 0\)

\(\Rightarrow \dfrac{3}{{\sqrt x  + 5}} > 0\;\forall x > 0 \Rightarrow 1 - P > 0\;\forall x > 0\).                     (2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow P\left( {1 - P} \right) > 0\;\forall x > 0 \Rightarrow P - {P^2} > 0\;\forall x > 0 \Rightarrow P > {P^2}\;\forall x > 0\).

Vậy \(P > {P^2}\) với mọi x thỏa mãnĐKXĐ.

Câu 2:

Cho hàm số \(y = \left( {m + 2} \right)x + 2{m^2} + 1\) (\(m\)là tham số)

a)      Vẽ đồ thị hàm số trên khi\(m =  - 1\).

Với \(m =  - 1\) ta có hàm số có dạng:\(y = x + 3\)

Chọn\(x = 0 \Rightarrow y = 3 \Rightarrow \)\(A\left( {0;3} \right)\)thuộc đồ thị hàm số

Chọn\(y = 0 \Rightarrow x + 3 = 0 \Leftrightarrow x =  - 3 \Rightarrow B\left( { - 3;\;0} \right)\) thuộc đồ thị hàm số.

Từ đó ta có đồ thị hàm số:

b)Tìm \(m\)để hai đường thẳng \(\left( d \right)y = \left( {m + 2} \right)x + 2{m^2} + 1\)và \(\left( {d'} \right):y = 3x + 3\) cắt nhau tại một điểm trên trục tung.

Phương trình của trục tung có dạng \(x = 0\). Thay \(x = 0\) vào hàm số \(\left( {d'} \right):y = 3x + 3\) ta có \(y = 3\)

Suy ra \(A\left( {0;3} \right)\) là giao điểm của\(\left( {d'} \right):y = 3x + 3\) và trục tung.

Vì hai đường thẳng \(\left( d \right):y = \left( {m + 2} \right)x + 2{m^2} + 1\)và \(\left( {d'} \right):y = 3x + 3\) cắt nhau tại một điểm trên trục tung nên điểm \(A\left( {0;3} \right)\) thuộc đường thẳng  \(\left( d \right):y = \left( {m + 2} \right)x + 2{m^2} + 1\)

\( \Rightarrow 3 = \left( {m + 2} \right).0 + 2{m^2} + 1 \Leftrightarrow {m^2} = 1 \Leftrightarrow m =  \pm 1\).

Với \(m = 1 \Rightarrow y = 3x + 3 \Rightarrow \)\(\left( d \right)\) trùng với \(\left( {d'} \right):y = 3x + 3\) (loại vì nếu hai đường thẳng trùng nhau thì không thể cắt nhau tại 1 điểm)

Với \(m =  - 1 \Rightarrow y = x + 3\) (thỏa mãn)

Vậy\(m =  - 1\) là giá trị cần tìm.

Câu 3:

            Cho đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính AB và điểm C thuộc đường tròn \(\left( O \right)\)(C khác Avà B) sao cho\(AC > BC\). Qua O vẽ đường thẳng vuông góc với dây cung AC tại H. Tiếp tuyến tại A của đường tròn \(\left( O \right)\) cắt OH tại D. Đoạn thẳng DB cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại E.

a)Chứng minh \(HA = HC,\angle DCO = {90^o}\)

Xét tam giác AOC có: \(AO = CO\)(do cùng là bán kính), suy ra tam giác AOC cân tại O

Mà có OH là đường cao ứng với đỉnh O nên OH đồng thời cũng là trung trực của AC

Suy ra \(HA = HC\). (đpcm)

Xét tam giác AOC cân tại O có OH là đường cao, suy ra OH đồng thời là đường phân giác

\( \Rightarrow \angle AOH = \angle COH\).

Xét tam giác DOC và tam giác DOA có:

+) Chung cạnh OD

+) \(AO = CO\)(do cùng là bán kính)

+) \(\angle AOH = \angle COH\)

\( \Rightarrow \Delta DOC = \Delta DOA \Rightarrow \angle DCO = \angle DAO = {90^o}\)(do AD là tiếp tuyến nên \(\angle DAO = {90^o}\))\(\)\(\)

b)Chứng minh rằng \(DH.DO = DE.DB\)

Xét tam giác vuông ADO vuông tại A có AHlà đường cao

\( \Rightarrow A{D^2} = DH.DO\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)             (1)

Xét tam giác vuông DABvuông tại A có AElà đường cao ( AE vuông góc với BD do \(\angle AEB\)là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\( \Rightarrow A{D^2} = DE.DB\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)              (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(DH.DO = DE.DB\;\;\left( { = A{D^2}} \right)\) (đpcm) \(\)\(\)

c) Trên tia đối của tia EA lấy điểm F sao cho Elà trung điểm cạnh AF. Từ F vẽ đường thẳng vuông góc với đường thẳng AD tại K. Đoạn thẳng FKcắt đường thẳng BC tại M. Chứng minh\(MK = MF\).

Kéo dài BM cắt AD tại G, GF cắt AB tại L

Xét tam giác ABG có:

\(\begin{array}{l}DO//BG\;\left( { \bot AC} \right)\\OA = OB\;\left( { = R} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow AD = DG\)  (tính chất đường trung bình)

Xét tam giác GFA có:

+) D là trung điểm củaAG (do\(AD = DG\))

+)E là trung điểm của AF (giả thiết)

\( \Rightarrow \)DE song song với GF(tính chất đường trung bình)

Xét tam giác GAL có:

+) D là trung điểm AG (do \(AD = DG\))

+) DB song song với GL (do DE song song với GF)

Suy ra B là trung điểm của AL (tính chất đường trung bình), suy ra\(AB = \dfrac{1}{2}AL\)\(\)

Xét tam giác GKM có KM song song với AB (do cùng vuông góc với AG)

\( \Rightarrow \dfrac{{KM}}{{AB}} = \dfrac{{KG}}{{AG}}\) (định lí Ta-lét)                   (3)

Xét tam giác GAL có KF song song với AL (do cùng vuông góc với AG)

\( \Rightarrow \dfrac{{KF}}{{AL}} = \dfrac{{GK}}{{AG}}\) (định lí Ta-lét)                                (4)

Từ (3) và (4) \( \Rightarrow \dfrac{{KM}}{{AB}} = \dfrac{{KF}}{{AL}}\). Mà có \(AB = \dfrac{1}{2}AL\) (cmt)

\( \Rightarrow KM = \dfrac{1}{2}KF \Rightarrow MF = KF - KM = KF - \dfrac{1}{2}KF = \dfrac{1}{2}KF \Rightarrow KF = KM\)(đpcm).

Câu 4:

Cho các số dương \(x,y\) thoả mãn\(x + y \le \dfrac{4}{3}\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức\(S = x + y + \dfrac{3}{{4x}} + \dfrac{3}{{4y}}\)

Ta có: \(S = \left( {x + \dfrac{4}{{9x}}} \right) + \left( {y + \dfrac{4}{{9y}}} \right) + \dfrac{{11}}{{36}}\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right)\).

Áp dụng bất đẳng thức Co-si có:

\(\begin{array}{l} + )\;x + \dfrac{4}{{9x}} \ge 2\sqrt {x.\dfrac{4}{{9x}}}  = 2.\sqrt {\dfrac{4}{9}}  = \dfrac{4}{3}\\ + )\;y + \dfrac{4}{{9y}} \ge 2\sqrt {y.\dfrac{4}{{9y}}}  = 2\sqrt {\dfrac{4}{9}}  = \dfrac{4}{3}\end{array}\)

Chứng minh bất đẳng thức phụ:

\(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \ge \dfrac{4}{{x + y}} \Leftrightarrow \dfrac{{x + y}}{{xy}} \ge \dfrac{4}{{x + y}} \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} \ge 4xy \Leftrightarrow {\left( {x - y} \right)^2} \ge 0\)(luôn đúng)

Áp dụng bất đẳng thức phụ trên có: \(\dfrac{{11}}{{36}}\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right) \ge \dfrac{{11}}{{36}}.\dfrac{4}{{x + y}}\)

Mà có \(x + y \le \dfrac{4}{3} \Rightarrow \dfrac{{11}}{{36}}.\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right) \ge \dfrac{{11}}{{36}}.\dfrac{4}{{x + y}} \ge \dfrac{{11}}{{36}}.\dfrac{4}{{\dfrac{4}{3}}} = \dfrac{{11}}{{12}}\).

\( \Rightarrow S = \left( {x + \dfrac{4}{{9x}}} \right) + \left( {y + \dfrac{4}{{9y}}} \right) + \dfrac{{11}}{{36}}\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right) \ge \dfrac{4}{3} + \dfrac{4}{3} + \dfrac{{11}}{{12}} = \dfrac{{43}}{{12}}\).

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{4}{{9x}}\\y = \dfrac{4}{{9y}}\\x + y = \dfrac{4}{3}\\x = y\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = \dfrac{2}{3}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là \(\dfrac{{43}}{{12}}\) khi\(x = y = \dfrac{2}{3}\).