Bài 36 trang 31 SGK Hình học 10 Nâng cao

Bài 36. Trong mặt phẳng tọa độ, cho ba điểm \(A( - 4\,;1)\,,\,B(2\,;4)\,,\,C(2\,; - 2).\)

a) Tìm tọa độ của trọng tâm tam giác \(ABC\).

b) Tìm tọa độ điểm \(D\) sao cho \(C\) là trọng tâm tam giác \(ABD\).

c)  Tìm tọa độ điểm \(E\) sao cho \(ABCE\) là hình bình hành.

Hướng dẫn trả lời

a) Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\), ta có

\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
{x_G} = {1 \over 3}({x_A} + {x_B} + {x_C}) = {1 \over 3}( - 4 + 2 + 2) = 0 \hfill \cr
{y_G} = {1 \over 3}({y_A} + {y_B} + {y_C}) = {1 \over 3}(1 + 4 - 2) = 1 \hfill \cr} \right.\,\, \cr
& \Rightarrow \,\,G\,(0\,;\,1). \cr} \)

b) Gọi \(D\,({x_{D\,}}\,;\,{y_D})\)  sao cho \(C\) là trọng tâm tam giác \(ABD\). Ta có

\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
{x_C} = {1 \over 3}({x_A} + {x_B} + {x_D}) \hfill \cr
{y_C} = {1 \over 3}({y_A} + {y_B} + {y_D}) \hfill \cr} \right.\,\, \Rightarrow \left\{ \matrix{
2 = {1 \over 3}( - 4 + 2 + {x_D}) \hfill \cr
- 2 = {1 \over 3}(1 + 4 + {y_D}) \hfill \cr} \right. \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\left\{ \matrix{
{x_D} = 8 \hfill \cr
{y_D} = - 11 \hfill \cr} \right. \cr
& \Rightarrow \,\,D\,(8\,;\, - 11) \cr} \)

c) Gọi \(E({x_E}\,;\,{y_E})\) sao cho \(ABCE\) là hình bình hành. Ta có

\(\eqalign{
& \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {EC} \,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,(6\,;\,3) = (2 - {x_E}\,;\, - 2 - {y_E}) \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ \matrix{
{x_E} = - 4 \hfill \cr
{y_E} = - 5 \hfill \cr} \right. \cr
& \Rightarrow \,\,E\,( - 4\,;\, - 5). \cr} \)