a) \(2{\sin ^2}x + \sin x\cos x - 3{\cos ^2}x = 0\)
Khi \(\cos x = 0 \Leftrightarrow {\sin ^2}x = 1\), khi đó ta có \(2.1 + 0 - 0 = 0\) (vô nghiệm)
\( \Rightarrow \cos x \ne 0 \Rightarrow x \ne {\pi \over 2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\)
Chia cả hai vế của phương trình cho \({\cos ^2}x\) ta được:
\(2{{{{\sin }^2}x} \over {{{\cos }^2}x}} + {{\sin x} \over {\cos x}} - 3 = 0 \Leftrightarrow 2{\tan ^2}x + \tan x - 3 = 0\)
Đặt \(t = \tan x,\) khi đó phương trình trở thành: \(2{t^2} + t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ t = 1 \hfill \cr t = - {3 \over 2} \hfill \cr} \right.\)
Với \(t = 1 \Leftrightarrow \tan x = 1 \Leftrightarrow x = {\pi \over 4} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\,\,\,\left( {tm} \right)\)
Với \(t = - {3 \over 2} \Rightarrow \tan x = - {3 \over 2}\)
\(\Leftrightarrow x = \arctan \left( { - {3 \over 2}} \right) + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\,\,\left( {tm} \right)\)
Vậy nghiệm của phương trình là \(x = {\pi \over 4} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\) hoặc \(x = \arctan \left( { - {3 \over 2}} \right) + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\).
b) \(3{\sin ^2}x - 4\sin x\cos x + 5{\cos ^2}x = 2\)
Khi \(\cos x = 0 \Leftrightarrow {\sin ^2}x = 1\), khi đó ta có \(3.1 - 0 + 0 = 2\) (vô nghiệm)
\( \Rightarrow \cos x \ne 0 \Rightarrow x \ne {\pi \over 2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\)
Chia cả hai vế của phương trình cho \({\cos ^2}x\) ta được:
\(\eqalign{ & \,\,\,\,\,\,3{{{{\sin }^2}x} \over {{{\cos }^2}x}} - 4{{\sin x} \over {\cos x}} + 5 = {2 \over {{{\cos }^2}x}} \cr & \Leftrightarrow 3{\tan ^2}x - 4\tan x + 5 = 2\left( {{{\tan }^2}x + 1} \right) \cr & \Leftrightarrow {\tan ^2}x - 4\tan x + 3 = 0 \cr} \)
Đặt \(t = \tan x,\) khi đó phương trình trở thành: \({t^2} - 4t + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ t = 1 \hfill \cr t = 3 \hfill \cr} \right.\)
Với \(t = 1 \Leftrightarrow \tan x = 1 \)
\(\Leftrightarrow x = {\pi \over 4} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\,\,\,\left( {tm} \right)\)
Với \(t = 3 \Rightarrow \tan x = 3 \)
\(\Leftrightarrow x = \arctan 3 + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\,\,\left( {tm} \right)\)
Vậy nghiệm của phương trình là \(x = {\pi \over 4} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\) hoặc \(x = \arctan 3 + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\).
\(\eqalign{ & c)\,\,{\sin ^2}x + \sin 2x - 2{\cos ^2}x = {1 \over 2}\cr& \Leftrightarrow {\sin ^2}x + 2\sin x\cos x - 2{\cos ^2}x = {1 \over 2} \cr & \Leftrightarrow 2{\sin ^2}x + 4\sin x\cos x - 4{\cos ^2}x = 1 \cr} \)
Khi \(\cos x = 0 \Leftrightarrow {\sin ^2}x = 1\), khi đó ta có \(2 + 0 - 0 = 1\) (vô nghiệm)
\( \Rightarrow \cos x \ne 0 \Rightarrow x \ne {\pi \over 2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\)
Chia cả hai vế của phương trình cho \({\cos ^2}x\) ta được:
\(\eqalign{ & \,\,\,\,\,\,2{{{{\sin }^2}x} \over {{{\cos }^2}x}} + 4{{\sin x} \over {\cos x}} - 4 = {1 \over {{{\cos }^2}x}} \cr & \Leftrightarrow 2{\tan ^2}x + 4\tan x - 4 = {\tan ^2}x + 1 \cr & \Leftrightarrow {\tan ^2}x + 4\tan x - 5 = 0 \cr} \)
Đặt \(t = \tan x,\) khi đó phương trình trở thành: \({t^2} + 4t - 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ t = 1 \hfill \cr t = - 5 \hfill \cr} \right.\)
Với \(t = 1 \Leftrightarrow \tan x = 1 \Leftrightarrow x = {\pi \over 4} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\,\,\,\left( {tm} \right)\)
Với \(t = - 5 \Rightarrow \tan x = - 5\)
\(\Leftrightarrow x = \arctan \left( { - 5} \right) + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\,\,\left( {tm} \right)\)
Vậy nghiệm của phương trình là \(x = {\pi \over 4} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\) hoặc \(x = \arctan \left( { - 5} \right) + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\).
\(\eqalign{ & d)\,\,2{\cos ^2}x - 3\sqrt 3 \sin 2x - 4{\sin ^2}x = - 4 \cr & \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x - 6\sqrt 3 \sin x\cos x - 4{\sin ^2}x = - 4 \cr} \)
Khi \(\cos x = 0 \Leftrightarrow {\sin ^2}x = 1\), khi đó ta có \(0 + 0 - 4 = - 4 \Rightarrow x = {\pi \over 2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\) là nghiệm của phương trình.
Khi \(\cos x \ne 0 \Rightarrow x \ne {\pi \over 2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\)
Chia cả hai vế của phương trình cho \({\cos ^2}x\) ta được:
\(\eqalign{ & \,\,\,\,\,\,2 - 6\sqrt 3 {{\sin x} \over {\cos x}} - 4{{{{\sin }^2}x} \over {{{\cos }^2}x}} = {{ - 4} \over {{{\cos }^2}x}} \cr & \Leftrightarrow 2 - 6\sqrt 3 \tan x - 4{\tan ^2}x = - 4{\tan ^2}x - 4 \cr & \Leftrightarrow 6\sqrt 3 \tan x = 6 \cr & \Leftrightarrow \tan x = {1 \over {\sqrt 3 }} \cr & \Leftrightarrow x = {\pi \over 6} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right) \cr} \)
Vậy nghiệm của phương trình là \(x = {\pi \over 2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\) hoặc \(x = {\pi \over 6} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\).
