Bài 5 trang 133 SGK Đại số và Giải tích 11

Cho hàm số \(f(x) = \dfrac{x+2}{x^{2}-9}\) có đồ thị như trên hình 53.

a) Quan sát đồ thị và nêu nhận xét về giá trị hàm số đã cho khi \(x → -∞\), \(x → 3^-\) và \(x → -3^+\)

b) Kiểm tra các nhận xét trên bằng cách tính các giới hạn sau:

\(\underset{x\rightarrow -\infty }{\lim} f(x)\) với \(f(x)\) được xét trên khoảng \((-\infty; -3)\),

\(\underset{x\rightarrow 3^{-}}{\lim} f(x)\) với \(f(x)\) được xét trên khoảng \((-3,3)\),

\(\underset{x\rightarrow -3^{+}}{\lim} f(x)\) với \(f(x)\) được xét trên khoảng \((-3; 3)\).

a) Quan sát đồ thị ta thấy \(x → -∞\) thì \(f(x) → 0\); khi \(x → 3^-\) thì \(f(x) → -∞\);

khi \(x → -3^+\) thì \(f(x)  → +∞\).

b) \(\underset{x\rightarrow -\infty }{\lim} f(x) = \underset{x\rightarrow -\infty }{\lim}\) \(\dfrac{x+2}{x^{2}-9}\) = \(\underset{x\rightarrow -\infty }{\lim}\) \(\dfrac{\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{x^{2}}}{1-\dfrac{9}{x^{2}}} = 0\).

\(\underset{x\rightarrow 3^{-}}{\lim} f(x) = \underset{x\rightarrow 3^{-}}{\lim}\)\(\dfrac{x+2}{x^{2}-9}\)  =  \(\underset{x\rightarrow 3^{-}}{\lim}\) \(\dfrac{x+2}{x+3}.\dfrac{1}{x-3} = -∞ \) vì  \(\underset{x\rightarrow 3^{-}}{\lim}\)\(\dfrac{x+2}{x+3}\) = \(\dfrac{5}{6} > 0\) và \(\underset{x\rightarrow 3^{-}}{\lim} \dfrac{1}{x-3} = -∞\).

\(\underset{x\rightarrow -3^{+}}{\lim} f(x) =\) \(\underset{x\rightarrow -3^{+}}{\lim}\) \(\dfrac{x+2}{x^{2}-9}\) = \(\underset{x\rightarrow -3^{+}}{\lim}\) \(\dfrac{x+2}{x-3}\) . \(\dfrac{1}{x+3} = +∞\) 
vì  \(\underset{x\rightarrow -3^{+}}{\lim}\) \(\dfrac{x+2}{x-3}\) = \(\dfrac{-1}{-6}\) = \(\dfrac{1}{6} > 0\) và \(\underset{x\rightarrow -3^{+}}{\lim}\) \(\dfrac{1}{x+3} = +∞\).