+) Với \(n = 1\) ta có \(1 < 2\sqrt 1 \) .
Vậy (1) đúng với \(n = 1\)
+) Giả sử (1) đúng với \(n = k\), tức là ta có :
\(1 + {1 \over {\sqrt 2 }} + ... + {1 \over {\sqrt k }} < 2\sqrt k \)
+) Ta chứng minh (1) đúng với \(n = k + 1\), tức là phải chứng minh :
\(1 + {1 \over {\sqrt 2 }} + ... + {1 \over {\sqrt k }} + {1 \over {\sqrt {k + 1} }} < 2\sqrt {k + 1} \left( * \right)\)
Theo giả thiết qui nạp ta có :
\(1 + {1 \over {\sqrt 2 }} + ... + {1 \over {\sqrt k }} + {1 \over {\sqrt {k + 1} }} < 2\sqrt k + {1 \over {\sqrt {k + 1} }}\)
Để chứng minh (*) ta cần chứng minh
\(2\sqrt k + {1 \over {\sqrt {k + 1} }} < 2\sqrt {k + 1} \)
Thật vậy ta có :
\(\eqalign{
& 2\sqrt k + {1 \over {\sqrt {k + 1} }} < 2\sqrt {k + 1} \cr
& \Leftrightarrow 2\sqrt {k\left( {k + 1} \right)} + 1 < 2\left( {k + 1} \right) \cr
& \Leftrightarrow 2\sqrt {k\left( {k + 1} \right)} < 2k + 1 \cr
& \Leftrightarrow 4k\left( {k + 1} \right) < {\left( {2k + 1} \right)^2} \cr} \)
\( \Leftrightarrow 4{k^2} + 4k < 4{k^2} + 4k + 1\)
\(⇔ 0 < 1\) (luôn đúng)
Vậy ta có (*) luôn đúng tức (1) đúng với \(n = k + 1\), do đó (1) đúng với mọi \(n \in \mathbb N^*\).
