Câu hỏi và bài tập ôn tập chương III

Bài 44. Chứng minh rằng

\({1.2^2} + {2.3^2} + ... + \left( {n - 1} \right).{n^2} = {{n\left( {{n^2} - 1} \right)\left( {3n + 2} \right)} \over {12}}\)    (1)

Với mọi số nguyên \(n ≥ 2\)

Bài 45. Cho dãy số (u_n) xác định bởi

\({u_1} = 2\text{ và }{u_n} = {{{u_{n - 1}} + 1} \over 2}\) với mọi \(n ≥ 2\)

Chứng minh rằng

\({u_n} = {{{2^{n - 1}} + 1} \over {{2^{n - 1}}}}\)   (1)

Với mọi số nguyên dương n.

Bài 46. Cho các dãy số (u_n) và (v_n) với  \({u_n} = {{{n^2} + 1} \over {n + 1}}\text{ và }{v_n} = {{2n} \over {n + 1}}\)

a. Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số (a_n) với a_n = u_n + v_n

b. Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số (b_n) với b_n = u_n – v_n

c. Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số (c_n) với c_n = u_n.v_n

d. Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số (d_n) với  \({d_n} = {{{u_n}} \over {{v_n}}}\)

Chú ý

Các dãy số (a_n), (b_n), (c_n), (d_n) nêu trên thường được kí hiệu tương ứng bởi (u_n + v_n), (u_n – v_n), (u_n.v_n),\(\left( {{{{u_n}} \over {{v_n}}}} \right)\).

Bài 47. Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng, dãy số nào là cấp số nhân ? Hãy xác định công sai hoặc công bội của mỗi cấp số đó.

a. Dãy số (u_n) với u_n = 8n + 3

b. Dãy số (u_n) với  \({u_n} = {n^2} + n + 1\)

c.  Dãy số (u_n) với  \({u_n} = {3.8^n}\)

d. Dãy số (u_n) với  \({u_n} = \left( {n + 2} \right){.3^n}\)

Bài 48. Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây :

a. Dãy số (u_n) xác định bởi

\({u_1} = 3\text{ và }{u_{n + 1}} = {u_n} + 5\) với mọi n ≥ 1

là một cấp số cộng.

b. Dãy số (u_n) xác định bởi

\({u_1} = 3\text{ và }{u_{n + 1}} = {u_n} + n\) với mọi n ≥ 1,

là một cấp số cộng.

c. Dãy số (u_n) xác định bởi

\({u_1} = 4\text{ và }{u_{n + 1}} = 5{u_n}\) với mọi n ≥ 1,

là một cấp số nhân.

d. Dãy số (u_n) xác định bởi

\({u_1} = 1\text{ và } {u_{n + 1}} = n{u_n}\) với mọi n ≥ 1

là một cấp số nhân.

Bài 49. Cho dãy hình vuông H₁, H₂, …, H_n,… Với mỗi số nguyên dương n, gọi u_n, p_n và S_n lần lượt là độ dài cạnh, chu vi và diện tích của hình vuông H_n.

a. Giả sử dãy số (u_n) là một cấp số cộng với công sai khác 0. Hỏi khi đó các dãy số (p_n) và (S_n) có phải là các cấp số cộng hay không ? Vì sao ?

b. Giả sử dãy số (u_n) là một cấp số nhân với công bội dương. Hỏi khi đó các dãy số (p_n) và (S_n) có phải là các cấp số nhân hay không ? Vì sao ?

Bài 50. Cho dãy số (u_n) xác định bởi :

\({u_1} = 3\;\text{và}\;{u_{n + 1}} = \sqrt {{u_n} + 6} \) với mọi n ≥ 1

Chứng minh rằng (u_n) vừa là cấp số cộng, vừa là cấp số nhân.

Bài 51. Tìm hiểu tiền công khoan giếng ở hai cơ sở khoan giếng, người ta được biết :

- Ở Cơ sở A : Giá của mét khoan đầu tiên là 8000 đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm 500 đồng so với giá của mét khoan ngay trước nó.

- Ở Cơ sở B : Giá của mỗi mét khoan đầu tiên là 6 000 đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm 7% giá của mét khoan ngay trước nó.

Với mỗi số nguyên dương n, kí hiệu u_n và v_n tương ứng là giá trị của mét khoan thứ n theo cách tính giá của cơ sở A và của cơ sở B.

a. Hãy tính u₂, u₃, v₂, v₃.

b. Chứng minh rằng dãy số (u_n) là một cấp số cộng và dãy số (v_n) là một cấp số nhân. Hãy tìm số hạng tổng quát của mỗi dãy số đó.

c. Một người muốn chọn một trong hai cơ sở nói trên để thuê khoan một giếng sâu 20 mét lấy nước dùng cho sinh hoạt của gia đình. Hỏi người ấy nên chọn cơ sở nào, nếu chất lượng cũng như thời gian khoan giếng của hai cơ sở là như nhau ?

d. Cũng câu hỏi như phần c, với giả thiết độ sâu của giếng khoan là 25 mét.