Giả sử hai điểm M, N nằm trên d sao cho \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {PQ} \)
Lấy điểm A’ sao cho \(\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {PQ} \) thì điểm A’ hoàn toàn xác định và AMNA’ là hình bình hành nên AM = A’N
Ta có: AM + BN = A’N + BN
Gọi A” là điểm đối xứng của A’ qua d, khi đó:
A’N + BN = A”N + BN ≥ A”B
Từ đó ta suy ra AM + BN nhỏ nhất khi N là giao điểm của BA” với d
Từ đó tìm được điểm M thỏa \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {PQ} \)
