Bài 1: a) \(\left\{ \matrix{ \sqrt 3 x - \left( {1 + \sqrt 2 } \right)y = - \sqrt 3 \hfill \cr \left( {1 + \sqrt 3 } \right)x - \left( {1 + \sqrt 2 } \right)y = \sqrt 2 - \sqrt 3 \hfill \cr} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = \sqrt 2 \hfill \cr \sqrt 3 x - \left( {1 + \sqrt 2 y} \right) = - \sqrt 3 \hfill \cr} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = \sqrt 2 \hfill \cr y = \sqrt 3 \hfill \cr} \right.\)
Hệ có nghiệm duy nhất : \(\left( {\sqrt 2 ;\sqrt 3 } \right).\)
b) \(\left\{ \matrix{ 3x - 5y = - 7 \hfill \cr 2x + 3y = 8 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 6x - 10y = - 14 \hfill \cr 6x + 9y = 24 \hfill \cr} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 19y = 38 \hfill \cr 3x - 5y = - 7 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ y = 2 \hfill \cr x = 1. \hfill \cr} \right.\)
Hệ có nghiệm duy nhất: \((1; 2).\)
Bài 2: Giải hệ : \(\left\{ \matrix{ x - 3y = - 1 \hfill \cr 2x + 3y = 7 \hfill \cr} \right. \)\(\;\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = 3y - 1 \hfill \cr 2\left( {3y - 1} \right) + 3y = 7 \hfill \cr} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = 3y - 1 \hfill \cr 9y = 9 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = 2 \hfill \cr y = 1 \hfill \cr} \right.\)
Thế \(x = 2\) và \(y = 1\) vào hệ thứ hai, ta được :
\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 4m + 5.1 = 1 \hfill \cr \left( { - 2} \right).2 + n.1 = 4 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ m = - 1 \hfill \cr n = 8. \hfill \cr} \right.\)
Thử lại : \(m = − 1\) và \(n = 8\), ta có hệ : \(\left\{ \matrix{ - 2x + 5y = 1 \hfill \cr - 2x + 8y = 4 \hfill \cr} \right.\)
Hệ có nghiệm \(( 2; 1)\).
Vậy với \(m = − 1\) và \(n = 8\) thì hai hệ phương trình tương đương.
Bài 3: Từ phương trình: \(- x + y = − m \Leftrightarrow y = x – m.\)
Thế y vào phương trình thứ nhất, ta được :
\(mx - \left( {x - m} \right) = 1\)
\(\Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)x = 1 - m\,\,\,\,\,\left( * \right)\)
Hệ có vô số nghiệm khi và chỉ khi phương trình (*) có vô số nghiệm :
\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ m - 1 = 0 \hfill \cr 1 - m = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow m = 1.\)
Bài 4: Gọi x là thời gian ô tô đi từ A đến B ( \(x > 0; x \) tính bằng giờ)
y là thời gian ô tô đi từ B đến C ( \(y > 0; y\) tính bằng giờ).
Quãng đường AB bằng \(50x\; (km)\), quãng đường BC bằng \(45y\; (km).\)
Ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \matrix{ 50x + 45y = 165 \hfill \cr y - x = {1 \over 2} \hfill \cr} \right. \)\(\;\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 50x + 45y = 165 \hfill \cr - 50x + 50y = 25 \hfill \cr} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 95y = 190 \hfill \cr y - x = {1 \over 2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ y = 2 \hfill \cr x = {3 \over 2} \hfill \cr} \right.\)
Vậy thời gian ô tô đi trên quãng đường AB là \({3 \over 2}\) giờ; thời gian ô tô đi trên quãng đường BC là \(2\) giờ.
