Bài 6.Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình (Tiếp theo)

 Giải hệ phương trình (II) bằng cách đặt ẩn phụ ( \(u = \dfrac{1}{x};v = \dfrac{1}{y}\)) rồi trả lời bài toán đã cho.

\(\left( {II} \right)\,\,\left\{ \matrix{{\displaystyle{1 \over x}} = {\displaystyle{3 \over 2}}.{\displaystyle{1 \over y}} \hfill \cr {\displaystyle{1 \over x}} + {\displaystyle{1 \over y}} = {\displaystyle{1 \over {24}}} \hfill \cr}  \right.\)

\(u = \dfrac{1}{x};v = \dfrac{1}{y}\)

Tính độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông, biết rằng nếu tăng mỗi cạnh lên \(3\) cm thì diện tích tam giác đó sẽ tăng thêm \(36\) cm², và nếu một cạnh giảm đi \(2\)cm, cạnh kia giảm đi \(4\) cm thì diện tích của tam giác giảm đi \(26\) cm²

Hai vòi nước cùng chảy vào một bể nước cạn (không có nước) thì sau \(4\dfrac{4}{5}\) giờ đầy bể. Nếu lúc đầu chỉ mở vòi thứ nhất và \(9\) giờ sau mới mở thêm vòi thứ hai thì sau \(\dfrac{6}{5}\) giờ nữa mới đầy bể. Hỏi nếu ngay từ đầu chỉ mở vòi thứ hai thì sau bao lâu mới đầy bể ?

Ta có phương trình: \(\dfrac{1}{x}+ \dfrac{1}{y}= \dfrac{5}{24}\)  (1)

Trong \(9\) giờ, vòi thứ nhất chảy được \(9.\dfrac{1}{x}\) bể.

Trong \(\dfrac{6}{5}\) giờ cả hai vòi chảy được \(\dfrac{6}{5}. {\left( \dfrac{1}{x}+ \dfrac{1}{y}\right)}\) bể.

\(9. \dfrac{1}{x}+\dfrac{6}{5}. {\left( \dfrac{1}{x}+ \dfrac{1}{y}\right)}=1\)

\( \Leftrightarrow  9. \dfrac{1}{x}+\dfrac{6}{5}. \dfrac{1}{x}+ \dfrac{6}{5}.\dfrac{1}{y}=1\) \( \Leftrightarrow  {\left(9+\dfrac{6}{5}\right)} \dfrac{1}{x}+ \dfrac{6}{5}.\dfrac{1}{y}=1\)

\( \Leftrightarrow  \dfrac{51}{5}.\dfrac{1}{x}+ \dfrac{6}{5}.\dfrac{1}{y}=1\) \( \Leftrightarrow  51. \dfrac{1}{x}+ 6. \dfrac{1}{y}=5\)  (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ:

\(\left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{5}{24} & & \\ 51. \dfrac{1}{x}+ 6. \dfrac{1}{y}=5 & & \end{matrix}\right.\)

Đặt  \(\left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{x}=a & & \\  \dfrac{1}{y}=b & & \end{matrix}\right.\)  với \(a > 0,\ b> 0.\)

Hệ đã cho trở thành:

\(\left\{\begin{matrix} a + b = \dfrac{5}{24} & & \\ 51a+ 6b=5 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 24a + 24b =5 & & \\ 51a+ 6b=5 & & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 24a + 24b =5 & & \\ 204a+ 24b=20 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 24a + 24b =5 & & \\ 180a=15 & & \end{matrix}\right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}24b =5-24a & & \\ a=\dfrac{15}{180}=\dfrac{1}{12} & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}24b =5-24.\dfrac{1}{12} & & \\ a=\dfrac{1}{12} & & \end{matrix}\right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}24b =3 & & \\ a=\dfrac{1}{12} & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}b =\dfrac{3}{24} & & \\ a=\dfrac{1}{12} & & \end{matrix}\right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}b =\dfrac{1}{8} & & \\ a=\dfrac{1}{12} & & \end{matrix} (thỏa\ mãn)\right.\)

Do đó \(\left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{12} & & \\  \dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{8} & & \end{matrix}\right.\) \( \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x =12 & & \\ y=8  & & \end{matrix} (thỏa\ mãn)\right.\)

Vậy nếu từ đầu chỉ mở vòi hai thì sau \(8\) giờ bể sẽ đầy.

Hai người thợ cùng làm một công việc trong \(16\) giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm 3 giờ và người thứ hai làm 6 giờ thì chỉ hoàn thành được 25% công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành công việc đó trong bao lâu ?

Nên ta có phương trình: \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}= \dfrac{1}{16}\)  (1).

Trong \(3\) giờ, người thứ nhất làm được: \(3. \dfrac{1}{x}\) công việc.

Trong \(6\) giờ người thứ hai làm được: \(6. \dfrac{1}{y}\) công việc.

Nên ta có phương trình: \(3. \dfrac{1}{x} +  6.\dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{4}\)  (2)

Ta có hệ phương trình:

\(\left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{16} & & \\ 3.\dfrac{1}{x} + 6. \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{4}& & \end{matrix}\right.\).

Đặt  \(\left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{x}=a & & \\  \dfrac{1}{y}=b & & \end{matrix}\right.\)  với \(a > 0,\ b> 0.\)

Hệ đã cho trở thành:

\(\left\{\begin{matrix} a + b = \dfrac{1}{16} & & \\ 3a+ 6b=\dfrac{1}{4} & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a =\dfrac{1}{16} -b & & \\ 3a+ 6b=\dfrac{1}{4} & & \end{matrix}\right.\)

\(\left\{\begin{matrix} a = \dfrac{1}{16}-b & & \\ 3{\left(\dfrac{1}{16} -b \right)}+6b=\dfrac{1}{4} & & \end{matrix}\right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a = \dfrac{1}{16}-b & & \\  3.\dfrac{1}{16} -3b+6b=\dfrac{1}{4} & & \end{matrix}\right.\)

\(\left\{\begin{matrix} a = \dfrac{1}{16}-b & & \\ 3b= \dfrac{1}{4} -\dfrac{3}{16}& & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}  a = \dfrac{1}{16}-b & & \\ b=\dfrac{1}{48} & & \end{matrix}\right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}  a = \dfrac{1}{16}- \dfrac{1}{48} & & \\ b=\dfrac{1}{16} & & \end{matrix}  \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}  a = \dfrac{1}{24} & & \\ b=\dfrac{1}{16} & & \end{matrix} (thỏa\ mãn)  \right.\)

Do đó \(\left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{24} & & \\  \dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{88} & & \end{matrix}\right.\) \( \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x =24 & & \\ y=48  & & \end{matrix} (thỏa\ mãn)\right.\)

Vậy người thứ nhất làm một mình xong công việc trong \(24\) giờ, người thứ hai làm một mình xong công việc trong \(48\) giờ.

Nhà Lan có một mảnh vườn trồng rau cải bắp. Vườn được đánh thành nhiều luống, mỗi luống trồng cùng một số cây cải bắp. Lan tính rằng: Nếu tăng thêm \(8\) luống nhưng mỗi luống trồng ít đi \(3\) cây thì số cây toàn vườn ít đi \(54\) cây. Nếu giảm đi \(4\) luống, nhưng mỗi luống trồng tăng thêm \(2\) cây thì số cây toàn vườn sẽ tăng thêm \(32\) cây. Hỏi vườn nhà Lan trồng bao nhiêu cây rau cải bắp?

\((x + 8)(y - 3) = xy - 54\)

\(\Leftrightarrow  xy + 8y-3x -24 =  xy - 54\)

\(\Leftrightarrow xy+8y-3x-xy=-54+24 \)

\(\Leftrightarrow -3x+8y=-30\)

\(\Leftrightarrow 3x-8y=30\)  (1)

* Nếu giảm đi \(4\) luống thì số luống là: \(x-4\) (luống)

Vì mỗi luống tăng thêm \(2\) cây nên số cây ở một luống là: \(y+2\) (cây)

Suy ra số cây toàn vườn lúc này là: \((x-4)(y+2)\) (cây)

\((x - 4)(y + 2) = xy + 32 \)

\(\Leftrightarrow xy- 4y+2x-8=xy+32\)

\(\Leftrightarrow xy- 4y+2x-xy=8+32\)

\(\Leftrightarrow 2x-4y=40 \) (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

\(\left\{\begin{matrix} 3x-8y= 30 & & \\ 2x-4y= 40 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3x-8y= 30 & & \\ 4x-8y= 80 & & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3x-8y= 30 & & \\ -x= -50 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3x-8y= 30 & & \\ x= 50 & & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 8y=3x- 30 & & \\ x= 50 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 8y=3.50- 30 & & \\ x= 50 & & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 8y=120 & & \\ x= 50 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y=15 & & \\ x= 50 & & \end{matrix} (thỏa\ mãn)\right.\)

Số cây rau cải bắp nhà Lan trồng: \(50 . 15 = 750\) (cây)

(Bài toán cổ Ấn Độ). Số tiền mua \(9\) quả thanh yên và \(8\) quả táo rừng thơm là \(107\) rupi. Số tiền mua \(7\) quả thanh yên và \(7\) quả táo rừng thơm là \(91\) rupi. Hỏi giá mỗi quả thanh yên và mỗi quả táo rừng thơm là bao nhiêu rubi ?

Điểm số trung bình của một vận động viên bắn súng sau \(100\) lần bắn là \(8,69\) điểm. Kết quả cụ thể được ghi trong bảng sau, trong đó có hai ô bị mờ không đọc được (đánh dấu *):

Em hãy tìm lại các số trong hai ô đó.

Hai vật chuyển động đểu trên một đường tròn đường kính \(20\) cm, xuất phát cùng một lúc, từ cùng một điểm. Nếu chuyển động cùng chiều thì cứ \(20\) giây chúng lại gặp nhau. Nếu chuyển động ngược chiều thì cứ \(4\) giây chúng lại gặp nhau. Tính vận tốc của mỗi vật.

Nếu hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn (không có nước) thì bể sẽ đầy trong \(1\) giờ \(20\) phút. Nếu mở vòi thứ nhất trong \(10\) phút và vòi thứ hai trong \(12\) phút thì chỉ được \(\dfrac{2}{15}\) bể nước. Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì thời gian để mỗi vòi chảy đầy bể là bao nhiêu ?

Do đó ta có phương trình: \(\dfrac{1}{x} +\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{80}\)  (1)

Trong \(10\) phút vòi thứ nhất chảy được \(10.\dfrac{1}{x}\) bể, trong \(12\) phút vòi thứ hai chảy được \(12. \dfrac{1}{y}\) bể thì được \(\dfrac{2}{15}\) bể, ta có phương trình:

\(10. \dfrac{1}{x} + 12. \dfrac{1}{y} = \dfrac{2}{15}\)  (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

\(\left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{x}+ \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{80}& & \\ 10. \dfrac{1}{x} + 12. \dfrac{1}{y} = \dfrac{2}{15} & & \end{matrix}\right.\)

Đặt \(\left\{\begin{matrix}\dfrac{1}{x} =a  & & \\ \dfrac{1}{y}=b & & \end{matrix}\right.\) ; (\(a,\ b \ne 0\) )

Hệ đã cho trở thành: 

\(\left\{\begin{matrix} a+ b = \dfrac{1}{80}& & \\ 10. a + 12. b = \dfrac{2}{15} & & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 10a+ 10b = \dfrac{10}{80}& & \\ 10a + 12 b = \dfrac{2}{15} & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 10a+ 10b = \dfrac{1}{8}& & \\ 10a + 12 b = \dfrac{2}{15} & & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2b = \dfrac{1}{120}& & \\ 10a + 12 b = \dfrac{2}{15} & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b = \dfrac{1}{240}& & \\ 10a  = \dfrac{2}{15}-12b & & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b = \dfrac{1}{240}& & \\ 10a  = \dfrac{2}{15}-12.\dfrac{1}{240}  & & \end{matrix}\right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b = \dfrac{1}{240}& & \\ a  = \dfrac{1}{120}  & & \end{matrix} (thỏa\ mãn)\right.\)

Suy ra  \(\left\{\begin{matrix}\dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{120} & & \\ \dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{240} & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = \dfrac{1}{120} & & \\ y=240 & & \end{matrix}\right.\) (thỏa mãn)

Vậy vòi thứ nhất chảy một mình trong \(120\) phút (2 giờ) thì đầy bể, vòi thứ hai chảy một mình trong \(240\) phút (4 giờ) thì đầy bể.

Một người mua hai loại hàng và phải trả tổng cộng \(2,17\) triệu đồng, kể cả thuế giá trị tăng (VAT) với mức \(10\)% đối với loại hàng thứ nhất và \(8\)% đối với loại hàng thứ hai. Nếu thuế VAT là \(9\)% đối với cả hai loại hàng thì người đó phải trả tổng cộng \(2,18\) triệu đồng. Hỏi nếu không kể thuế VAT thì người đó phải trả bao nhiêu tiền cho mỗi loại hàng ?

\(\dfrac{11}{10}x\) + \(\dfrac{27}{25}y\) \(= 2,17 \Leftrightarrow 1,1x + 1,08y = 2,17\)  (1)

* Số tiền mua cả hai loại hàng khi chưa có thuế là: \(x+y\) (triệu đồng)

Số tiền thuế phải trả cho cả hai loại hàng với mức thuế \(9\)% là:

\(9\)%. \((x+y)=\dfrac{9}{100}.(x+y)\)

Tổng số tiền phải trả, kể cả thuế, là:

\( (x+y) + \dfrac{9}{100}.(x+y)=\dfrac{109}{100}(x+y)\) 

\(\dfrac{109}{100}(x+y)=2,18 \Leftrightarrow x+y=2\) (2)

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình:

\(\left\{\begin{matrix} 1,1x + 1,08y = 2,17 & & \\ x + y = 2 & & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 1,1(2-y)  +1,08y= 2,17 & & \\ x  = 2-y & & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2,2 - 1,1y+1,08y=2,17 & & \\ x=2-y\ (3) & & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 0,02y=2,2-2,17 & & \\ x=2-y\ (3) & & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 0,02y=0,03 & & \\ x=2-y\ (3) & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y=1,5 & & \\ x=2-y\ (3) & & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y=1,5 & & \\ x=2-1,5\ (3) & & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y=1,5 & & \\ x=0,5\ & & \end{matrix} (thỏa\ mãn)\right.\)

Vậy số tiền người đó phải trả cho loại thứ nhất là \(0,5\) triệu đồng khi không có thuế, loại thứ hai là \(1,5\) triều đồng khi không có thuế.