Câu 1.
Điều kiện xác định \({x^2} - 7x + 11 \ge 0\).
Ta có
\(\begin{array}{l}\left( {x - 3} \right)\left( {x - 4} \right) + 2\sqrt {{x^2} - 7x + 11} = 4\\ \Leftrightarrow {x^2} - 7x + 11 + 2\sqrt {{x^2} - 7x + 11} - 3 = 0\end{array}\).
Đặt \(t = \sqrt {{x^2} - 7x + 11} ,t \ge 0\). Ta có phương trình
\({t^2} + 2t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = - 3\end{array} \right.\).
So với điều kiện chọn nghiệm t = 1.
Vây: \(\sqrt {{x^2} - 7 + 11} = 1 \)
\(\Leftrightarrow {x^2} - 7x + 10 = 0 \)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 5\end{array} \right.\) (thỏa mãn điều kiện).
Phương trình có hai nghiệm \(x = 2\) và \(x = 5.\)
Câu 2.
Ta có: \(2{x^2} - 3x + 2 = 2\left( {{x^2} - \dfrac{3}{2}x + 1} \right) \)\(\;= 2\left[ {{{\left( {x - \dfrac{3}{4}} \right)}^2} + \dfrac{7}{{16}}} \right] > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
Do đó: \( - 1 \le \dfrac{{{x^2} + 5x + m}}{{2{x^2} - 3x + 2}} < 7\)
\(\Leftrightarrow - \left( {2{x^2} - 3x + 2} \right) \le {x^2} + 5x + m < 7\left( {2{x^2} - 3x + 2} \right)\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3{x^2} + 2x + m + 2 \ge 0\\13{x^2} - 26x + 14 - m > 0\end{array} \right.\)
Hệ bất phương trình trên đúng với mọi \(x \in \mathbb{R}\) khi và chỉ khi
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\Delta _1' \le 0\\\Delta _2' < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - 3\left( {m + 2} \right) \le 0\\169 - 13\left( {14 - m} \right) < 0\end{array} \right.\\{\rm{ }} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge - \dfrac{5}{3}\\m < 1\end{array} \right. \Leftrightarrow - \dfrac{5}{3} \le m < 1.\end{array}\)
Vậy \(m \in \left[ { - \dfrac{5}{2};1} \right)\).
