Đề kiểm tra 15 phút - Chương 6 - Đề số 4 - Đại số 10
Chọn phương án đúng
Câu 1. Giá trị của biểu thức \(S = 3 - {\sin ^2}90^\circ + 2{\cos ^2}60^\circ - 3{\tan ^2}45^\circ \) bằng
A. \(\dfrac{1}{2}\)
B. 3
C. 1
D. \( - \dfrac{1}{2}\)
Câu 2. Giá trị của biểu thức \(S = {\sin ^2}3^\circ + {\sin ^2}15^\circ + {\sin ^2}75^\circ + {\sin ^2}87^\circ \) bằng
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Câu 3. Cho \(\cot \alpha = 2\) . Giá trị của biểu thức \(P = \dfrac{{2\sin \alpha + 3\cos \alpha }}{{2\sin \alpha - 3\cos \alpha }}\) bằng
A. \(\dfrac{1}{2}\)
B. \( - \dfrac{1}{2}\)
C. -2
D. 2
Câu 4. Nếu \(\tan \alpha + \cot \alpha = - 2\) thì \({\tan ^3}\alpha + {\cot ^3}\alpha \) bằng
A. -4
B. -3
C. -2
D. -1
Câu 5. Giá trị của biểu thức \(T = \tan 9^\circ - \tan 27^\circ - \tan 63^\circ + \tan 81^\circ \) bằng
A. \(\dfrac{1}{2}\)
B. \(\sqrt 2 \)
C. 2
D. 4
Câu 6. Cho \(A = {\cos ^2}\dfrac{\pi }{{14}} + {\cos ^2}\dfrac{{3\pi }}{7}\) . Khi đó, khẳng định nào sao đây đúng
A. \(A = 1\)
B. A = 2
C. \(A = 2{\cos ^2}\dfrac{\pi }{{14}}\)
D. \(A = 2{\cos ^2}\dfrac{{3\pi }}{7}\)
Câu 7. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(T = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} - \sqrt 3 \cos x\) đạt được khi x bằng
A. \(\pi \)
B. \(\dfrac{\pi }{3}\)
C. \(\dfrac{{2\pi }}{3}\)
D. \( - \dfrac{\pi }{6}\)
Câu 8. Nếu \(\alpha \) là góc nhọn và \(\sin 2\alpha = m\) thì \(\sin \alpha + \cos \alpha \) bằng
A. \(\sqrt {m + 1} \)
B. \( - \sqrt {m + 1} \)
C. \(1 + m\)
D. \(-1 – m\)
Câu 9. Tam giác ABC có \(\cos A = \dfrac{4}{5},cosB = \dfrac{5}{{13}}\) . Khi đó \(\cos C\) bằng
A. \(\dfrac{{56}}{{65}}\)
B. \(\dfrac{{16}}{{65}}\)
C. \( - \dfrac{{56}}{{65}}\)
D. \(\dfrac{{63}}{{65}}\)
Câu 10. Nếu \(0^\circ < \alpha < 180^\circ \) và \(\sin \alpha + \cos \alpha = \dfrac{1}{2}\) thì \(\tan \alpha = - \dfrac{{m + \sqrt n }}{3}\) với cặp số nguyên (m, n) là
A. \((4;7) \)
B. \((-4;7) \)
C. \((8;7)\)
D. \((8;14)\)
Lời giải
Câu 1. D
\(S = 3 - {\sin ^2}90^\circ + 2{\cos ^2}60^\circ - 3{\tan ^2}45^\circ \)\(\, = 3 - 1 + \dfrac{1}{2} - 3 = - \dfrac{1}{2}\).
Câu 2. B
\(S = {\sin ^2}3^\circ + {\sin ^2}15^\circ + {\sin ^2}75^\circ + {\sin ^2}87^\circ \)
\(\;\;\; = {\sin ^2}3^\circ + {\sin ^2}15^\circ + {\cos ^2}15^\circ + {\cos ^2}3^\circ = 2\)
Câu 3. C
Ta có \(\cot \alpha = 2 \Rightarrow \dfrac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = 2 \)
\(\Rightarrow \cos \alpha = 2\sin \alpha \).
Suy ra
\(\begin{array}{l}P = \dfrac{{2\sin \alpha + 3\cos \alpha }}{{2\sin \alpha - 3\cos \alpha }}\\ \;\;\;\; = \dfrac{{2\sin \alpha + 6\sin \alpha }}{{2\sin \alpha - 6\sin \alpha }}\\ \;\;\;\; = \dfrac{{8\sin \alpha }}{{ - 4\sin \alpha }} = - 2\end{array}\).
Câu 4. C
\({\tan ^3}\alpha + {\cot ^3}\alpha \)
\(= {\left( {\tan \alpha + \cot \alpha } \right)^3} - 3\tan \alpha \cot \alpha \left( {\tan \alpha + \cot \alpha } \right)\)
\(= - 8 + 6 = - 2\).
Câu 5. D
Ta có:
\(\begin{array}{l}T = \tan 9^\circ - \tan 27^\circ - \tan 63^\circ + \tan 81^\circ \\ \;\;\;\,= \left( {\tan 9^\circ + \tan 81^\circ } \right) - \left( {\tan 27^\circ + \tan 63^\circ } \right)\end{array}\)
\(\;\;\; \;= \dfrac{{\sin 9^\circ \cos 81^\circ + \sin 81^\circ \cos 9^\circ }}{{\cos 9^\circ \cos 81^\circ }} - \dfrac{{\sin 27^\circ \cos 63^\circ + \sin 63^\circ \cos 27^\circ }}{{\cos 27^\circ \cos 63^\circ }}\)
\(\;\;\;\; = \dfrac{{\sin 90^\circ }}{{\dfrac{1}{2}\left( {\cos 90^\circ + \cos 72^\circ } \right)}} - \dfrac{{\sin 90^\circ }}{{\dfrac{1}{2}\left( {\cos 90^\circ + \cos 36^\circ } \right)}}\)
\(\;\;\;\;= \dfrac{2}{{\cos 72^\circ }} - \dfrac{2}{{\cos 36^\circ }}\)
\(\;\;\;\; = \dfrac{{2\left( {\cos 36^\circ - \cos 72^\circ } \right)}}{{\cos 72^\circ \cos 36^\circ }}\)
\(\;\;\;\;= \dfrac{{4\sin 54^\circ \sin 18^\circ }}{{\cos 72^\circ \cos 36^\circ }} = 4\)
Câu 6. A
\(\begin{array}{l}A = {\cos ^2}\dfrac{\pi }{{14}} + {\cos ^2}\dfrac{{3\pi }}{7}\\ \;\;\;\;= {\cos ^2}\dfrac{\pi }{{14}} + {\sin ^2}\left( {\dfrac{\pi }{2} - \dfrac{{3\pi }}{7}} \right)\\ \;\;\;\;= {\cos ^2}\dfrac{\pi }{{14}} + {\sin ^2}\dfrac{\pi }{{14}} = 1\end{array}\).
Câu 7. D
Ta có:
\(T = {\mathop{\rm sinx}\nolimits} - \sqrt 3 \cos x \)
\(\;\;\;\;= 2\left( {\dfrac{1}{2}{\mathop{\rm sinx}\nolimits} - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x} \right)\)
\(\begin{array}{l} \;\;\;\;= 2\left( {\cos \dfrac{\pi }{3}{\mathop{\rm sinx}\nolimits} - \sin \dfrac{\pi }{3}\cos x} \right)\\ \;\;\;\;= 2\sin \left( {x - \dfrac{\pi }{3}} \right)\end{array}\)
Suy ra T đạt giá trị nhỏ nhất là -2 khi \(\sin \left( {x - \dfrac{\pi }{3}} \right) = - 1\). Chọn \(x = - \dfrac{\pi }{6}\).
Câu 8. A
Ta có
\({\left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right)^2} \)
\(= {\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha \)
\(= 1 + \sin 2\alpha = 1 + m\).
Do \(\alpha \) là góc nhọn nên \(\sin \alpha + \cos \alpha > 0\).
Vậy \(\sin \alpha + \cos \alpha = \sqrt {1 + m} \).
Câu 9. B
Ta có \({\sin ^2}A = 1 - {\cos ^2}A = 1 - \dfrac{{16}}{{25}} = \dfrac{9}{{25}}\).
Mà \(\sin A > 0\) nên \(\sin A = \dfrac{3}{5}\).
Tương tự \(\sin {\bf{B}} = \dfrac{{12}}{{13}}\).
Suy ra
\(\cos C = - \cos \left( {A + B} \right) \)
\(= \sin A\sin B - \cos A\cos B \)
\(= \dfrac{{36}}{{65}} - \dfrac{{20}}{{65}} = \dfrac{{16}}{{65}}\).
Câu 10. A
Ta có:
\(1 = {\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha \)
\(= {\sin ^2}\alpha + {\left( {\dfrac{1}{2} - \sin \alpha } \right)^2} \)
\(= 2{\sin ^2}\alpha - \sin \alpha + \dfrac{1}{4}\)
\( \Leftrightarrow 2{\sin ^2}\alpha - \sin \alpha - \dfrac{3}{4} = 0 \)
\(\Leftrightarrow \sin \alpha = \dfrac{{1 \pm \sqrt 7 }}{4}\)
Mà \(0^\circ < \alpha < 180^\circ \) nên \(\sin \alpha > 0\). Chọn \(\sin \alpha = \dfrac{{1 - \sqrt 7 }}{4}\).
Suy ra \(\cos \alpha = \dfrac{1}{2} - \dfrac{{1 + \sqrt 7 }}{4} = \dfrac{{1 - \sqrt 7 }}{4}\).
Vậy \(\tan \alpha = \dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \dfrac{{1 + \sqrt 7 }}{{1 - \sqrt 7 }} \)\(\,= \dfrac{{{{\left( {1 + \sqrt 7 } \right)}^2}}}{{1 - 7}} = - \dfrac{{4 + \sqrt 7 }}{3}\).
