Bài 1. a. Ta có: 0 < cosα < 1 và tanα > 0
\(\eqalign{ & \Rightarrow \tan \alpha .\cos \alpha < \tan \alpha \cr & \Rightarrow {{\sin \alpha } \over {\cos \alpha }}.\cos \alpha < \tan \alpha \cr & \Rightarrow \sin \alpha < \tan \alpha \cr} \)
với \(α = 28^o\) , ta có: \(\sin28^o < \tan28^o\).
Cách khác : Dựng ∆ABC vuông tại A và \(\widehat C = 28^\circ \)
Ta có: \(\sin 28^\circ = {{AB} \over {BC}};\tan 28^\circ = {{AB} \over {AC}}\)
mà \(BC > AC\) (cạnh huyền > cạnh góc vuông)
\( \Rightarrow {{AB} \over {BC}} < {{AB} \over {AC}}\,hay\,\sin 28^\circ < \tan 28^\circ \)
b. \(\cos 58^o = \sin(90^o - 58^o) = \sin 32^o\)
Theo chứng minh câu a : \(\sin32^o < \tan32^o\) hay \(\cos58^o < \tan32^o\)
Bài 2.
Vẽ phân giác BD, ta có: \({{DA} \over {DC}} = {{BA} \over {BC}}\)
\( \Rightarrow {{DA} \over {AB}} = {{DC} \over {BC}} = {{DA + DC} \over {AB + BC}} = {{AC} \over {AB + BC}}\) (1)
Mặt khác \(∆ABC\) vuông tại A, ta có:
\(\tan \widehat {ABD} = \tan {{\widehat {ABC}} \over 2} = {{DA} \over {AB}}\)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \tan {{\widehat {ABC}} \over 2} = {{AC} \over {AB + BC}}\)
