a) Công thức nghiệm của phương trình bậc hai \(A{z^2} + Bz + C = 0\) là
\(z = {{ - B \pm \delta } \over {2A}}\left( {{\delta ^2} = {B^2} - 4AC} \right)\)
Do đó \({z_1} + {z_2} = - {B \over A}\);\({z_1}.{z_2} = {{\left( { - B - \delta } \right)\left( { - B + \delta } \right)} \over {2A.2A}} = {{{B^2} - {\delta ^2}} \over {4{A^2}}} = {{4AC} \over {4{A^2}}} = {C \over A}\)
Vậy công thức Viét vẫn còn đúng.
b) Giả sử \({z_1} + {z_2} = \alpha \); \({z_1}{z_2} = \beta \)
\({z_1},{z_2}\) là hai nghiệm phương trình:
\(\left( {z - {z_1}} \right)\left( {z - {z_2}} \right) = 0 \Leftrightarrow {z^2} - \left( {{z_1} + {z_2}} \right)z + {z_1}{z_2} = 0 \Leftrightarrow {z^2} - \alpha z + \beta = 0\)
Theo đề bài \({z_1} + {z_2} = 4 - i\); \({z_1}{z_2} = 5\left( {1 - i} \right)\,\,\)
nên \({z_1},{z_2}\) là hai nghiệm phương trình
\({z^2} - \left( {4 - i} \right)z + 5\left( {1 - i} \right) = 0\) (*)
\(\Delta = {\left( {4 - i} \right)^2} - 20\left( {1 - i} \right) = 16 - 1 - 8i - 20 + 20i = - 5 + 12i\)
Giả sử \({\left( {x + yi} \right)^2} = - 5 + 12i \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x^2} - {y^2} = - 5 \hfill \cr 2xy = 12 \hfill \cr} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x^2} - {{36} \over {{x^2}}} = - 5 \hfill \cr y = {6 \over x} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x^4} + 5{x^2} - 36 = 0 \hfill \cr y = {6 \over x} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = 2 \hfill \cr y = 3 \hfill \cr} \right.\,\text{ hoặc }\left\{ \matrix{ x = - 2 \hfill \cr y = - 3 \hfill \cr} \right.\)
Vậy \(\Delta\) có hai căn bậc hai là \( \pm \left( {2 + 3i} \right)\).
Phương trình bậc hai (*) có hai nghiệm:
\({z_1} = {1 \over 2}\left[ {4 - i + \left( {2 + 3i} \right)} \right] = 3 + i\)
\({z_2} = {1 \over 2}\left[ {4 - i - \left( {2 + 3i} \right)} \right] = 1 - 2i\)
c) Nếu phương trình \({z^2} + Bz + C = 0\) có hai nghiệm \({z_1},{z_2}\) là hai số phức liên hợp, \({z_2} = \overline {{z_1}} \), thì theo công thức Vi-ét,\(B = - \left( {{z_1} + {z_2}} \right) = - \left( {{z_1} + \overline {{z_1}} } \right)\) là số thực, \(C = {z_1}{z_2} = {z_1}\overline {{z_1}} \) là số thực.
Điều ngược lại không đúng vì nếu \(B, C\) thực thì \(\Delta = {B^2} - 4AC > 0\) hai nghiệm là số thực phân biệt, chúng không phải là liên hợp với nhau. ( Khi \(\Delta \le 0\) thì phương trình mới có hai nghiệm là hai số phức liên hợp).
