Bài 20 trang 28 SGK Hình học 12 Nâng cao

a) Gọi \(O\) là tâm của tam giác đều \(ABC\). Vì \(A’\) cách đều ba đỉnh \(A, B, C\) nên \(A’\) nằm trên trục của \(\Delta ABC\), do đó \(A'O \bot mp\left( {ABC} \right)\)
\(AO\) là hình chiếu của \(AA’\) trên mp \((ABC)\). Do đó \(\widehat {A'AO} = {60^0}\)
Trong tam giác vuông \(A’OA\) ta có: \(\tan {60^0} = {{A'O} \over {AO}} \Rightarrow A'O = AO.\tan {60^0} = {2 \over 3}.{{a\sqrt 3 } \over 2}.\sqrt 3  = a\)
Vậy thể tích khối lăng trụ là \(V = B.h = {S_{ABC}}.A'O = {{{a^2}\sqrt 3 } \over 4}.a = {{{a^3}\sqrt 3 } \over 4}\)
b) Vì \(BC \bot AO \Rightarrow BC \bot \left( {AOA'} \right) \Rightarrow BC \bot AA'\) hay \(BC \bot BB'\) . Vậy \(BCC’B’\) là hình chữ nhật.
c) Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\). Ta có \(AB \bot \left( {A'HO} \right) \Rightarrow A'H \bot AB\).
Trong tam giác vuông \(A’OH\), ta có: \(A'{H^2} = A'{O^2} + O{H^2} = {a^2} + {\left( {{{a\sqrt 3 } \over 6}} \right)^2} = {{13{a^2}} \over {12}} \Rightarrow A'H = {{a\sqrt {13} } \over {2\sqrt 3 }}\)
Diện tích hình bình hành \(ABB’A’\) : \({S_{ABB'A'}} = AB.AH = {a^2}{{\sqrt {13} } \over {2\sqrt 3 }}\)
Tương tự \({S_{ACC'A'}} = {{{a^2}\sqrt {13} } \over {2\sqrt 3 }}\)
Diện tích hình chữ nhật \(BCC’B’\) là: \({S_{BCC'B'}} = BB'.BC = AA'.BC = {{AO} \over {\cos {{60}^0}}}.a = {{2{a^2}\sqrt 3 } \over 3}\)
Vậy diện tích xung quanh hình lăng trụ là: \({S_{xq}} = 2{S_{AA'B'B}} + {S_{BCC'B'}} = {{{a^2}\sqrt {13} } \over {\sqrt 3 }} + {{2{a^2}\sqrt 3 } \over 3} = {{{a^2}\sqrt 3 } \over 3}\left( {\sqrt {13}  + 2} \right)\)