a) Vì parabol đi qua \(M(1; 5)\) nên tọa độ của \(M\) là nghiệm đúng phương trình của parabol:
\(5 = a.1^2+ b.1 + 2\).
Tương tự, với \(N(- 2; 8)\) ta có:
\(8 = a.(- 2)^2 + b.(- 2) + 2\)
Giải hệ phương trình: \(\left\{\begin{matrix} a+b+2=5\\ 4a-2b+2=8 \end{matrix}\right.\)
ta được \(a = 2, b = 1\).
Parabol có phương trình là: \(y = 2x^2 + x + 2\).
b) Vì parabol đi qua hai điểm \(A(3;- 4)\) nên tọa độ \(A\) là nghiệm đúng phương trình của parabol:
\(a(3)^{2}+b.3+2=-4\)
Parabol có trục đối xứng là \(x=-\frac{3}{2}\) nên ta có:
\(-\frac{b}{2a}=-\frac{3}{2}\)
Giải hệ phương trình:
\(\left\{\begin{matrix} -\frac{b}{2a}=-\frac{3}{2}\\a(3)^{2}+b.3+2=-4 \end{matrix}\right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
6a - 2b = 0\\
9a + 3b = - 6
\end{array} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=-\frac{1}{3}\\ b=-1 \end{matrix}\right.\)
Phương trình parabol cần tìm là: \(y = -\frac{1}{3} x^2- x + 2\).
c) Parabol có đỉnh \(I(2;- 2)\) do đó tọa độ \(I\) là nghiệm đúng phương trình của parabol:
\(a.2^2+b.2+2=-2\)
Parabol có đỉnh \(I(2;- 2)\) nên parabol có trục đối xứng là: \(x=2\) do đó:
\( -\frac{b}{2a}=2\)
Giải hệ phương trình: \(\left\{\begin{matrix} -\frac{b}{2a}=2\\a.2^2+b.2+2=-2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=1\\ b=-4 \end{matrix}\right.\)
Phương trình parabol cần tìm là: \(y = x^2- 4x + 2\).
d) Vì parabol đi qua điểm \(B(- 1; 6)\) nên tọa độ \(B\) là nghiệm đúng phương trình của parabol:
\(a(-1)^{2}+b(-1)+2=6\)
Parabol có tung độ của đỉnh là \(-\frac{1}{4}\) nên ta có:
\({ - \frac{\Delta }{{4a}}}=-\frac{1}{4} \)
Khi đó ta có hệ phương trình sau:
\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
6 = a{\left( { - 1} \right)^2} + b.\left( { - 1} \right) + 2\\
- \frac{\Delta }{{4a}} = - \frac{1}{4}
\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a - b = 4\\
{b^2} - 4ac = a
\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 4 + b\\
{b^2} - 9a = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 4 + b\\
{b^2} - 9\left( {4 + b} \right) = 0
\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 4 + b\\
{b^2} - 9b - 36 = 0
\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
a = 1\\
b = - 3
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
a = 16\\
b = 12
\end{array} \right.
\end{array} \right.
\end{array}\)
Phương trình parabol cần tìm là: \(y = 16x^2+ 12x + 2\) hoặc \(y = x^2- 3x + 2\).
