Gọi \(x\) là số đơn vị sản phẩm loại I, \(y\) là số đơn vị sản phẩm loại II được nhà máy lập kế hoạch sản xuất. Khi đó số lãi nhà máy nhân được là \(P = 3x + 5y\) (nghìn đồng).
Các đại lượng \(x, y\) phải thỏa mãn các điều kiện sau:
(I) \(\left\{\begin{matrix} x\geq 0,y\geq 0\\ 2x-2y\leq 10 \\ 2y\leq 4 \\2x+4y\leq 12 \end{matrix}\right.\)
(II) \(\left\{\begin{matrix} x\geq 0,y\geq 0\\ y\leq 5-x \\ y\leq 2 \\y\leq-\frac{1}{2}x+3 \end{matrix}\right.\)
Miền nghiệm của hệ bất phương trình (II) là đa giác \(OABCD\) (kể cả biên).
Biểu thức \(F = 3x + 5y\) đạt giá trị lớn nhất khi \((x; y)\) là tọa độ đỉnh \(C\).
(Từ \(3x + 5y = 0 \Rightarrow y = -\frac{3}{5}x.\) Các đường thẳng qua các đỉnh của \(OABCD\) và song song với đường \(y = -\frac{3}{5}x\) cắt \(Oy\) tại điểm có tung độ lớn nhất là đường thẳng qua đỉnh \(C\)).
Phương trình hoành độ điểm \(C\): \(5 - x = -\frac{1}{2}x +3 \Leftrightarrow x = 4\).
Suy ra tung độ điểm \(C\) là \(y_C= 5 - 4 = 1\). Tọa độ \(C(4; 1)\). Vậy trong các điều kiện cho phép của nhà máy, nếu sản xuất 4 đơn vị sản phẩm loại I và 1 đơn vị sản phẩm đơn vị loại II thì tổng số tiền lãi lớn nhất bằng:
\( F_C= 3.4 + 5.1 = 17\) nghìn đồng.