Giả sử hàm số \(f\left( x \right)\) là hàm số chẵn trên đoạn \(\left[ { - a;a} \right]\), ta có: \(\int\limits_{ - a}^a {f(x)dx} = \int\limits_{ - a}^0 {f(x)dx} + \int\limits_0^a {f(x)dx} \)
Đổi biến \(x = - t\) đối với tích phân \(\int\limits_{ - a}^0 {f(x)dx} \), ta được:
\(\int\limits_{ - a}^0 {f(x)dx} = - \int\limits_a^0 {f( - t)dt} \)\( = \int\limits_0^a {f(t)dt} = \int\limits_0^a {f(x)dx} \)
Vậy \(\int\limits_{ - a}^a {f(x)dx = 2\int\limits_0^a {f(x)dx} } \)
Trường hợp sau chứng minh tương tự.
Áp dụng:
Ta có: \(g( - x) = \ln \left( { - x + \sqrt {1 + {{\left( { - x} \right)}^2}} } \right)\)\( = \ln \left( { - x + \sqrt {1 + {x^2}} } \right)\) \( = \ln \left( {\dfrac{1}{{x + \sqrt {1 + {x^2}} }}} \right)\) \( = - \ln \left( {x + \sqrt {1 + {x^2}} } \right) = - g\left( x \right)\)
Nên \(g(x) = \ln \left( {x + \sqrt {1 + {x^2}} } \right)\) là hàm số lẻ trên đoạn \(\left[ { - 2;2} \right]\) nên \(\int\limits_{ - 2}^2 {g(x)dx = 0} \)
