Ôn tập chương 3: Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

Tính các nguyên hàm sau:

a) \(\displaystyle  \int {(2x - 3)\sqrt {x - 3} dx} \), đặt \(\displaystyle  u = \sqrt {x - 3} \)

b) \(\displaystyle  \int {\frac{x}{{{{(1 + {x^2})}^{\frac{3}{2}}}}}} dx\), đặt \(\displaystyle  u = \sqrt {{x^2} + 1} \)

c) \(\displaystyle  \int {\frac{{{e^x}}}{{{e^x} + {e^{ - x}}}}} dx\), đặt \(\displaystyle  u = {e^{2x}} + 1\)

d) \(\displaystyle  \int {\frac{1}{{\sin x - \sin a}}} dx\)

Tính các tích phân sau:

a) \(\displaystyle  \int\limits_0^1 {{{(y - 1)}^2}\sqrt y } dy\), đặt \(\displaystyle  t = \sqrt y \)

b) \(\displaystyle  \int\limits_1^2 {({z^2} + 1)\sqrt[3]{{{{(z - 1)}^2}}}} dz\), đặt \(\displaystyle  u = \sqrt[3]{{{{(z - 1)}^2}}}\)

c) \(\displaystyle  \int\limits_1^e {\frac{{\sqrt {4 + 5\ln x} }}{x}} dx\)

d) \(\displaystyle  \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {({{\cos }^5}\varphi }  - {\sin ^5}\varphi )d\varphi \)

Tính các tích phân sau:

a) \(\displaystyle  \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\cos 2x.{{\cos }^2}xdx} \)    b) \(\displaystyle  \int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {\frac{{{e^x}}}{{{e^{2x}} - 1}}dx} \)

c) \(\displaystyle  \int\limits_0^1 {\frac{{x + 2}}{{{x^2} + 2x + 1}}\ln (x + 1)dx} \)

d) \(\displaystyle  \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{x\sin x + (x + 1)\cos x}}{{x\sin x + \cos x}}dx} \)

Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

a) \(\displaystyle  y = x - 1 + \frac{{\ln x}}{x},y = x - 1\) và \(\displaystyle  x = e\);

b) \(\displaystyle  y = {x^3} - {x^2}\) và \(\displaystyle  y = \frac{1}{9}(x - 1)\);

Tính thể tích các khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng xác định bởi

a) \(\displaystyle  y = {x^{\frac{2}{3}}},x = 0\) và tiếp tuyến với đường \(\displaystyle  y = {x^{\frac{2}{3}}}\) tại điểm có hoành độ \(\displaystyle  x = 1\), quanh trục \(\displaystyle  Oy\);

b) \(\displaystyle  y = \frac{1}{x} - 1,y = 0,y = 2x\), quanh trục \(\displaystyle  Ox\).

c) \(\displaystyle  y = \left| {2x - {x^2}} \right|,y = 0\) và \(\displaystyle  x = 3\), quanh :

* Trục \(\displaystyle  Ox\)

* Trục \(\displaystyle  Oy\)

Hãy chỉ ra các kết quả đúng trong các kết quả sau:

a) \(\displaystyle  \int\limits_0^1 {{x^n}{{(1 - x)}^m}dx} \)\(\displaystyle   = \int\limits_0^1 {{x^m}{{(1 - x)}^n}dx} ;m,n \in {N^*}\)

b) \(\displaystyle  \int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{{t^2}}}{{{e^t} + 1}}} dt = \int\limits_0^1 {{t^2}dt} \)

c) \(\displaystyle  \int\limits_0^1 {{{\sin }^3}x\cos xdx = } \int\limits_0^1 {{t^3}} dt\)

Hàm số nào dưới đây không là nguyên hàm của hàm số \(\displaystyle  f\left( x \right) = \frac{{x\left( {2 + x} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)?

A. \(\displaystyle  \frac{{{x^2} + x - 1}}{{x + 1}}\)       B. \(\displaystyle  \frac{{{x^2} - x - 1}}{{x + 1}}\)

C. \(\displaystyle  \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}\)       D. \(\displaystyle  \frac{{{x^2}}}{{x + 1}}\)

Nếu \(\displaystyle  \int\limits_a^d {f\left( x \right)dx}  = 5,\int\limits_b^d {f\left( x \right)dx}  = 2\) với \(\displaystyle  a < d < b\) thì \(\displaystyle  \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \) bằng

A. \(\displaystyle   - 2\)                   B. \(\displaystyle  8\)

C. \(\displaystyle  0\)                      D. \(\displaystyle  3\)

Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau:

A. \(\displaystyle  \int\limits_0^1 {\sin \left( {1 - x} \right)dx}  = \int\limits_0^1 {\sin xdx} \)

B. \(\displaystyle  \int\limits_0^\pi  {\sin \frac{x}{2}dx}  = 2\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin xdx} \)

C. \(\displaystyle  \int\limits_0^1 {{{\left( {1 + x} \right)}^x}dx}  = 0\)

D. \(\displaystyle  \int\limits_{ - 1}^1 {{x^{2007}}\left( {1 + x} \right)dx}  = \frac{2}{{2009}}\)

Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A. \(\displaystyle  \int\limits_0^\pi  {\left| {\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)} \right|dx}  = \int\limits_0^\pi  {\left| {\sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)} \right|dx} \)

B. \(\displaystyle  \int\limits_0^\pi  {\left| {\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)} \right|dx}  = \int\limits_0^\pi  {\left| {\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)} \right|dx} \)

C. \(\displaystyle  \int\limits_0^\pi  {\left| {\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)} \right|dx} \) \(\displaystyle   = \int\limits_0^{\frac{{3\pi }}{4}} {\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)dx}  - \int\limits_{\frac{{3\pi }}{4}}^\pi  {\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)dx} \)

D. \(\displaystyle  \int\limits_0^\pi  {\left| {\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)} \right|dx}  = 2\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)dx} \)

\(\displaystyle  \int\limits_0^1 {x{e^{1 - x}}dx} \) bằng

A. \(\displaystyle  1 - e\)                B. \(\displaystyle  e - 2\)

C. \(\displaystyle  1\)                        D. \(\displaystyle   - 1\)

Nhờ ý nghĩa hình học của tích phân, hãy tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau:

A. \(\displaystyle  \int\limits_0^1 {\ln \left( {1 + x} \right)dx}  > \int\limits_0^1 {\frac{{x - 1}}{{e - 1}}dx} \)

B. \(\displaystyle  \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\sin }^2}xdx}  < \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\sin 2xdx} \)

C. \(\displaystyle  \int\limits_0^1 {{e^{ - x}}dx}  > \int\limits_0^1 {{{\left( {\frac{{1 - x}}{{1 + x}}} \right)}^2}dx} \)

D. \(\displaystyle  \int\limits_0^1 {{e^{ - {x^2}}}dx}  > \int\limits_0^1 {{e^{ - {x^3}}}dx} \)

Thể tích của khối tròn xoay tạo nên do quay quanh trục \(\displaystyle  Ox\) hình phẳng giới hạn bởi các đường \(\displaystyle  y = {\left( {1 - x} \right)^2},y = 0\), \(\displaystyle  x = 0\) và \(\displaystyle  x = 2\) bằng

A. \(\displaystyle  \frac{{8\pi \sqrt 2 }}{3}\)              B. \(\displaystyle  \frac{{2\pi }}{5}\)

C. \(\displaystyle  \frac{{5\pi }}{2}\)                     D. \(\displaystyle  2\pi \)

\(\displaystyle  \int\limits_{ - \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} {\frac{{x\left( {1 + {x^2} + {x^4}} \right)}}{{1 + {x^2}}}dx} \) bằng

A. \(\displaystyle  0\)                   B. \(\displaystyle  1\)

C. \(\displaystyle   - 1\)                D. \(\displaystyle  2\)

Khẳng định nào sau đây sai?

A. \(\displaystyle  \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi  {\frac{{\sin x}}{x}dx}  < \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi  {\frac{{\cos x}}{x}dx} \)

B. \(\displaystyle  \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^1 {\frac{{\tan x}}{x}dx}  > \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^1 {\frac{{\cot x}}{x}dx} \)

C. \(\displaystyle  \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\sin }^4}xdx}  < \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {dx} \)

D. \(\displaystyle  \int\limits_1^e {\frac{{\ln x}}{x}dx}  < \int\limits_1^e {\frac{{{e^x}}}{x}dx} \)

Diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi các đường \(\displaystyle  y = \tan x,y = 0,x =  - \frac{\pi }{4}\) và \(\displaystyle  x = \frac{\pi }{4}\) bằng

A. \(\displaystyle  \pi \)                         B. \(\displaystyle   - \pi \)

C. \(\displaystyle  \ln 2\)                     D. \(\displaystyle  0\)

Thể tích khối tròn xoay tạo bởi phép quay quanh trục \(\displaystyle  Ox\) của hình phẳng giới hạn bởi các đường \(\displaystyle  y = {\sin ^{\frac{3}{2}}}x,y = 0,x = 0\) và \(\displaystyle  x = \frac{\pi }{2}\) bằng

A. \(\displaystyle  1\)                       B. \(\displaystyle  \frac{2}{7}\)

C. \(\displaystyle  2\pi \)                    D. \(\displaystyle  \frac{2}{3}\pi \)

Một ô tô đang chạy với vận tốc \(\displaystyle  10m/s\) thì người lái đạp phanh, từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc \(\displaystyle  v\left( t \right) =  - 5t + 10\left( {m/s} \right)\), trong đó \(\displaystyle  t\) là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô di chuyển bao nhiêu mét?

A. \(\displaystyle  0,2m\)                      B. \(\displaystyle  2m\)

C. \(\displaystyle  10m\)                       D. \(\displaystyle  20m\)