Bài 1: Nguyên hàm

Kiểm tra xem hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số còn lại trong mỗi cặp hàm số sau:

a) \(f(x) = \ln (x + \sqrt {1 + {x^2}} )\) và \(g(x) = \dfrac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}\)

b) \(f(x) = {e^{\sin x}}\cos x\)  và \(g(x) = {e^{\sin x}}\)

c) \(f(x) = {\sin ^2}\dfrac{1}{x}\) và \(g(x) =  - \dfrac{1}{{{x^2}}}\sin \dfrac{2}{x}\)

d) \(f(x) = \dfrac{{x - 1}}{{\sqrt {{x^2} - 2x + 2} }}\) và \(g(x) = \sqrt {{x^2} - 2x + 2} \)

e) \(f(x) = {x^2}{e^{\dfrac{1}{x}}}\)  và \(g(x) = (2x - 1){e^{\dfrac{1}{x}}}\)

Chứng minh rằng các hàm số \(F(x)\) và \(G(x)\) sau đều là một nguyên hàm của cùng một hàm số:

a) \(F(x) = \dfrac{{{x^2} + 6x + 1}}{{2x - 3}}\)  và \(G(x) = \dfrac{{{x^2} + 10}}{{2x - 3}}\)

b) \(F(x) = \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}}\)  và \(G(x) = 10 + {\cot ^2}x\)

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) \(f(x) = {(x - 9)^4}\)

b) \(f(x) = \dfrac{1}{{{{(2 - x)}^2}}}\)

c) \(f(x) = \dfrac{x}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}\)

d) \(f(x) = \dfrac{1}{{\sqrt {2x + 1} }}\)

Tính các nguyên hàm sau bằng phương pháp đổi biến số:

a) \(\int {{x^2}\sqrt[3]{{1 + {x^3}}}} dx\)  với \(x >  - 1\) (đặt \(t = 1 + {x^3}\))

b) \(\int {x{e^{ - {x^2}}}} dx\)  (đặt \(t = {x^2}\))

c) \(\int {\dfrac{x}{{{{(1 + {x^2})}^2}}}} dx\)   (đặt \(t = 1 + {x^2}\))

d) \(\int {\dfrac{1}{{(1 - x)\sqrt x }}} dx\) (đặt \(t = \sqrt x \))

e) \(\int {\sin \dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{{{x^2}}}} dx\)  (đặt \(t = \dfrac{1}{x}\) )

g) \(\int {\dfrac{{{{(\ln x)}^2}}}{x}} dx\)  (đặt \(t = \ln x\))

h) \(\int {\dfrac{{\sin x}}{{\sqrt[3]{{{{\cos }^2}x}}}}} dx\)   (đặt \(t = \cos x\))

Áp dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính:

a) \(\int {(1 - 2x){e^x}} dx\)

b) \(\int {x{e^{ - x}}dx} \)

c) \(\int {x\ln (1 - x)dx} \)

d)  \(\int {x{{\sin }^2}xdx} \)

Tính các nguyên hàm sau:

a) \(\int {x{{(3 - x)}^5}dx} \)

b) \(\int {{{({2^x} - {3^x})}^2}} dx\)

c) \(\int {x\sqrt {2 - 5x} dx} \)

d) \(\int {\dfrac{{\ln (\cos x)}}{{{{\cos }^2}x}}} dx\)

e) \(\int {\dfrac{x}{{{{\sin }^2}x}}} dx\)

g) \(\int {\dfrac{{x + 1}}{{(x - 2)(x + 3)}}dx} \)

h) \(\int {\dfrac{1}{{1 - \sqrt x }}} dx\)

i) \(\int {\sin 3x\cos 2xdx} \)

Bằng cách biến đổi các hàm số lượng giác, hãy tính:

a) \(\int {{{\sin }^4}x} dx\)                 b) \(\int {\dfrac{1}{{{{\sin }^3}x}}dx} \)

c) \(\int {{{\sin }^3}x{{\cos }^4}xdx} \)       d) \(\int {{{\sin }^4}x{{\cos }^4}xdx} \)

Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số  \(f(x) = \dfrac{1}{{1 + \sin x}}\) ?

a) \(F(x) = 1 - \cot \left( {\dfrac{x}{2} + \dfrac{\pi }{4}} \right)\)

b) \(G(x) = 2\tan \dfrac{x}{2}\)

c) \(H(x) = \ln (1 + \sin x)\)

d) \(K(x) = 2\left( {1 - \dfrac{1}{{1 + \tan \dfrac{x}{2}}}} \right)\)

Tính các nguyên hàm sau đây:

a) \(\int {(x + \ln x){x^2}dx} \)

b) \(\int {(x + {{\sin }^2}x)\sin xdx} \)

c) \(\int {(x + {e^x}){e^{2x}}dx} \)

d) \(\int {(x + \sin x)\dfrac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}}} \)

Cho \(F'\left( x \right) = f\left( x \right),C\) là hằng số dương tùy ý. Khi đó \(\int {f\left( x \right)dx} \) bằng

A. \(F\left( x \right) + C\)                B. \(F\left( x \right) - C\)

C. \(F\left( x \right) + \ln C\)           D. \(F\left( {x + C} \right)\)

Hãy chỉ ra kết quả sai khi tính \(\int {\sin x\cos xdx} \):

A. \(\dfrac{{{{\sin }^2}x}}{2} + C\)            B. \( - \dfrac{{{{\cos }^2}x}}{2} + C\)

C. \(\dfrac{{ - \cos 2x}}{4} + C\)      D. \(\dfrac{{{{\cos }^2}x}}{2} + C\)

\(\int {x{e^{2x}}dx} \) bằng

A. \(\dfrac{{{e^{2x}}\left( {x - 2} \right)}}{2} + C\)

B. \(\dfrac{{{e^{2x}} + 1}}{2} + C\)

C. \(\dfrac{{{e^{2x}}\left( {x - 1} \right)}}{2} + C\)

D. \(\dfrac{{{e^{2x}}\left( {2x - 1} \right)}}{4} + C\)

\(\int {\left( {x + 1} \right)\sin xdx} \) bằng

A. \(\left( {x + 1} \right)\cos x + \sin x + C\)

B. \( - \left( {x + 1} \right)\cos x + \sin x + C\)

C. \( - \left( {x + 1} \right)\sin x + \cos x + C\)

D. \(\left( {x + 1} \right)\cos x - \sin x + C\)

\(\int {x\ln \left( {x + 1} \right)dx} \) bằng

A. \(\left( {\dfrac{{{x^2}}}{2} - 1} \right)\ln \left( {x + 1} \right) + \dfrac{1}{4}{\left( {x - 1} \right)^2} + C\)

B. \(\left( {\dfrac{{{x^2}}}{2} - 1} \right)\ln \left( {x + 1} \right) - \dfrac{1}{2}{\left( {x - 1} \right)^2} + C\)

C. \(\left( {\dfrac{{{x^2}}}{2} - \dfrac{1}{2}} \right)\ln \left( {x + 1} \right) - \dfrac{1}{4}{\left( {x - 1} \right)^2} + C\)

D. \(\left( {\dfrac{{{x^2}}}{2} + 1} \right)\ln \left( {x + 1} \right) - \dfrac{1}{4}{\left( {x - 1} \right)^2} + C\)

\(\int {x\sqrt {x - 1} dx} \) bằng

A. \({\left( {x - 1} \right)^{\dfrac{5}{2}}} + {\left( {x - 1} \right)^{\dfrac{3}{2}}} + C\)

B. \(\dfrac{2}{{15}}\left[ {3{{\left( {x - 1} \right)}^{\dfrac{5}{2}}} - 5{{\left( {x - 1} \right)}^{\dfrac{3}{2}}}} \right] + C\)

C. \(\dfrac{2}{{15}}\left[ {3{{\left( {x - 1} \right)}^{\dfrac{5}{2}}} + 5{{\left( {x - 1} \right)}^{\dfrac{3}{2}}}} \right] + C\)

D. \(\dfrac{1}{{15}}\left[ {3{{\left( {x - 1} \right)}^{\dfrac{5}{2}}} + 5{{\left( {x - 1} \right)}^{\dfrac{3}{2}}}} \right] + C\)