Định lí: Tam thức bậc hai \(f(x) = ax^2+ bx + c (a ≠0)\)
có biệt thức \(Δ = b^2– 4ac\)
- Nếu \(Δ < 0\) thì \(f(x)\) cùng dấu với hệ số \(a \) với mọi \(x∈\mathbb R\)
- Nếu \( Δ = 0\) thì \(f(x)\) luôn cùng dấu với hệ số \(a\) với mọi \(x \ne {{ - b} \over {2a}}\)
- Nếu \(Δ >0\) thì \(f(x)\) có hai nghiệm \(x_1;x_2\) (\(x_1<x_2\))
\( f(x)\) cùng dấu với hệ số \(a\) khi \(x<x_1\) hoặc \(x>x_2\)
\(f(x)\) trái dấu với hệ số \(a\) khi \(x_1<x<x_2\)
Áp dụng: \(f(x) = - 2{x^2} + 3x + 1 - m\) có hệ số \(a = -2<0\)
Biệt thức: \(Δ = 3^2- 4 .(- 2) (1-m) = 17 - 8m\)
Ta có \(a=-2 < 0\) nên tam thức \(f(x)\) luôn âm (tức \(f(x) < 0 , ∀x ∈\mathbb R\) khi:
\(\eqalign{
& \Delta < {\rm{ }}0 \Leftrightarrow 17 - 8m < 0 \cr
& \Leftrightarrow m > {{17} \over 8}. \cr} \)
