ÔN TẬP CUỐI NĂM ĐẠI SỐ - TOÁN 10

Hãy phát biểu các khẳng định sau đây dưới dạng điều kiện cần và đủ.

Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) thì \(BC^2= AB^2+AC^2\)

Tam giác \(ABC\) có các cách cạnh thỏa mãn hệ thức  \(BC^2 = AB^2+AC^2\) thì vuông tại \(A.\)

Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số.

a) \(y = -3x+2\)

b) \(y = 2x^2\)

c) \(y = 2x^2– 3x +1\)

 Phát biểu quy tắc xét dấu một nhị thức bậc nhất. Áp dụng quy tắc đó để giải bất phương trình sau:

\(f(x) = {{(3x - 2)(5 - x)} \over {(2 - 7x)}} \ge 0.\)

Phát biểu định lí về dấu của một tam thức bậc hai \(f(x) = ax^2+ bx + c\).

Áp dụng quy tắc đó, hãy xác định giá  trị của \(m\) để tam thức sau luôn luôn âm:  \(f(x) =  - 2{x^2} + 3x + 1 - m.\)     

Nêu các tính chất của bất đẳng thức. Áp dụng một trong các  tính chất đó, hãy so sánh các số \({2^{3000}}\) và \({3^{2000}}\).

Nêu cách giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn và giải hệ: \(\left\{ \matrix{2x + y \ge 1 \hfill \cr x - 3y \le 1 \hfill \cr} \right.\)

Cho hàm số  \(f(x) = \sqrt {{x^2} + 3x + 4} \)\( - \sqrt { - {x^2} + 8x - 15} \)

a) Tìm tập xác định \(A\) của hàm số \(f(x)\)

b) Giả sử \(B = \left\{ {x \in R:4 < x \le \left. 5 \right\}} \right.\) . Hãy xác định các tập hợp \(A\backslash B\) và \(R\backslash (A\backslash B)\)

Cho phương trình: \(mx^2– 2x – 4m – 1 = 0\)

a) Chứng minh rằng với mọi giá trị \(m≠0\) phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

b) Tìm giá trị của \(m\) để \(- 1\) là một nghiệm của phương trình. Sau đó tìm nghiệm còn lại.

Cho phương trình:  \({x^2} - 4mx + 9{(m - 1)^2} = 0\)

a) Xem xét với giá trị nào của \(m\), phương trình trên có nghiệm.

b) Giả sử \(x_1,x_2\) là hai nghiệm của phương trình đã cho, hãy tính tổng và tích của chúng. Tìm một hệ thức liên hệ giữa \(x_1\) và \(x_2\) không phụ thuộc vào \(m\).

c) Xác định \(m\) để hiệu các nghiệm của phương trình bằng \(4\).

Chứng minh các bất đẳng thức:

a) \(5(x-1) < x^5– 1< 5x^4(x-1)\), biết \(x – 1 > 0\)

b) \(x^5+ y^5– x^4y – xy^4≥ 0\), biết \(x + y ≥ 0\)

c) \(\sqrt {4a + 1}  + \sqrt {4b + 1}  + \sqrt {4c + 1}  < 5\), biết rằng \(a, b, c\)  cùng lớn hơn \( - \frac{1}{4}\) và  \(a + b + c = 1.\)

Giải hệ phương trình sau bằng cách đưa về hệ phương trình dạng tam giác:

\(\left\{ \matrix{
x + 3y + 2z = 1 \hfill \cr 
3x + 5y - z = 9 \hfill \cr 
5x - 2y - 3z = - 3 \hfill \cr} \right.\)  (I)

a) Xét dấu biểu thức: \(f(x) = 2x(x+2) – (x+2)(x+1).\)

b) Lập bảng biến thiên và vẽ trong cùng một hệ tọa độ vuông góc các đồ thị của các hàm số sau

\(y = 2x(x+2) (C_1)\) và \(y = (x+2)(x+1) (C_2).\)

Tính tọa độ các giao điểm \(A\) và \(B\) của \((C_1)\) và \((C_2)\)

c) Tính các hệ số \(a, b, c\) để hàm số \(y = ax^2+ bx + c\) có giá trị lớn nhất bằng \(8\) và đồ thị của nó đi qua \(A\) và \(B\).

Chứng minh các hệ thức sau:

a) \({{1 - 2{{\sin }^2}a} \over {1 + \sin 2a}} = {{1 - \tan a} \over {1 + \tan a}}\)

b) \({{\sin a + \sin 3a + \sin 5a} \over {\cos a + \cos 3a + \cos 5a}} = \tan 3a\)

c) \({{{{\sin }^4}a - {{\cos }^4}a + {{\cos }^2}a} \over {2(1 - \cos a)}} = {\cos ^2}{a \over 2}\)

d) \({{\tan 2x\tan x} \over {\tan 2x - \tan x}} = \sin 2x\)

Rút gọn các biểu thức sau:

a) \({{1 + \sin 4a - \cos 4a} \over {1 + \cos 4a + \sin 4a}}\)

b) \({{1 + \cos a} \over {1 - \cos a}}{\tan ^2}{a \over 2} - {\cos ^2}a\)

c) \({{\cos 2x - \sin 4x - \cos 6x} \over {\cos 2x + \sin 4x - \cos 6x}}\)

Tính

a) \(4(cos{24^0} + \cos {48^0} - \cos {84^0} - \cos {12^0})\)

b) \(96\sqrt 3 \sin {\pi  \over {48}}\cos {\pi  \over {48}}\cos {\pi  \over {24}}\cos {\pi  \over {12}}\cos {\pi  \over 6}\)

c) \(\tan {9^0} - \tan {63^0} + \tan {81^0} - \tan {27^0}\)

Rút gọn

a) \(\cos {x \over 5}\cos {{2x} \over 5}\cos {{4x} \over 5}\cos {{8x} \over 5}\)

b) \(\sin {x \over 7} + 2\sin {{3x} \over 7} + \sin {{5x} \over 7}\)

Chứng minh rằng trong một tam giác \(ABC\) ta có:

a) \(\tan A + \tan B  +  \tan C \)\(= \tan A\tan B\tan C, \) \(\left( {\widehat A,\;\widehat B,\;\widehat C \ne \frac{\pi }{2}} \right).\)

b) \(\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C \)\(= 4\sin A\sin B\sin C\)

Không sử dụng máy tính, hãy tính:

 \({{\sin {{40}^0} - \sin {{45}^0} + \sin {{50}^0}} \over {\cos {{40}^0} - \cos {{45}^0} + \cos {{50}^0}}} - {{6(\sqrt 3  + \tan {{15}^0})} \over {3 - \sqrt 3 \tan {{15}^0}}}\)