Nối M với E. Ta có \(MI \bot AB\) (giả thiết); \(CE \bot AB\) (giả thiết) \(\Rightarrow MI//CE\).
Do đó \(\widehat {EMI} = \widehat {MEC}\) (1) (cặp góc so le trong).
Kẻ \(MH \bot CE\),
Xét hai tam giác vuông MIE và EHM có:
+) ME chung
+) \(\widehat {EMI} = \widehat {MEC}\)
\(\Rightarrow \Delta MIE = \Delta EHM\) (g.c.g)
\(\Rightarrow MI = EH\) (cạnh tương ứng)
Mặt khác MH // AB (cùng vuông góc với EC)
\( \Rightarrow \widehat {CMH} = \widehat {CBA} = \widehat {BCA}\) (2) (cặp góc đồng vị).
Xét hai tam giác vuông MHC và CJM có:
+) MC chung
+) \( \widehat {CMH} = \widehat {BCA}\)
\( \Rightarrow \Delta MHC = \Delta CJM\) (g.c.g).
Do đó \(MJ = HC\), mà \(EC = EH + HC \)
\(\Rightarrow EC = MI + MJ.\)
