Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) – Chương 1 – Đề số 4 – Đại số và giải tích 11

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Giải phương trình \({\tan ^2}3x - 1 = 0\).

A. \(x =  \pm \dfrac{\pi }{4} + k\pi \)

B. \(x =  \pm \dfrac{\pi }{{12}} + k\pi \)

C. \(x =  \pm \dfrac{\pi }{8} + k\dfrac{\pi }{2}\)

D. \(x =  \pm \dfrac{\pi }{{12}} + k\dfrac{\pi }{3}\)

Câu 2: Tìm tập xác định \(D\) của hàm số \(y = \dfrac{{1 - 4\sin x}}{{\cos x}}\).

A. \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)

B. \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)

C. \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{2} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)

D. \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{2} + k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)

Câu 3: Tính giá trị biểu thức \(P = {\sin ^2}{45^0} - \cos {60^0}\).

A. \(P = 0\)                           B. \(P = \dfrac{1}{2}\)

C. \(P = 1\)                           D. \(P =  - 1\)

Câu 4: Giải phương trình \({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in2}}x - \cos 2x =  - \sqrt 2 \).

A. \(x =  - \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \)

B. \(x = \dfrac{{3\pi }}{8} + k\pi \)

C. \(x =  - \dfrac{\pi }{8} + k\pi \)

D. \(x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \)

Câu 5: Phương trình nào sau đây có nghiệm?

A. \(5\sin x - 2\cos x = 3\)   

B. \(\sin x + \cos x = 2\)       

C. \(\sin x - 4\cos x =  - 5\)  

D. \(\cos x + \sqrt 3 \sin x = 3\)

Câu 6: Tìm giá trị lớn nhất \(M\) của hàm số \(y = 7\cos 5x - 1\).

A. \(M = 7\)                          B. \(M = 5\)

C. \(M = 6\)                          D. M = 8

Câu 7: Phương trình nào sau đây vô nghiệm?

A. \(9 - \cot x = 0\)              

B. \(2\tan x + 9 = 0\)

C. \(1 - 4\sin x = 0\)             

D. \(5 + 4\cos x = 0\)

Câu 8: Giải phương trình \(\sqrt 3 \sin x + \cos x = 1\).

A. \(x = k2\pi ;\,\,x = \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \)

B. \(x =  - \dfrac{\pi }{3} + k2\pi ;\,\,x = \dfrac{{4\pi }}{3} + k2\pi \)

C. \(x =  - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi ;\,\,x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \)

D. \(x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi ;\,\,x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \)

Câu 9: Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn.

A. \(y = \sin x\)                     B. \(y = \cos x\)

C. \(y = \cot x\)                     D. \(y = \tan x\)

Câu 10: Giải phương trình \(2{\sin ^2}x - 3\sin x - 2 = 0\).

A. \(x =  - \dfrac{\pi }{3} + k2\pi ;\,\,\,x = \dfrac{{4\pi }}{3} + k2\pi \)

B. \(x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi ;\,\,\,x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \)

C. \(x =  - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi ;\,\,\,x = \dfrac{{7\pi }}{6} + k2\pi \)

D. \(x = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi ;\,\,\,x = \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \)

Câu 11: Giải phương trình  \(\tan \left( {2x} \right) = \tan {\rm{8}}{0^0}\).

A. \(x = {40^0} + k{180^0}\)

B. \(x = {40^0} + k{90^0}\)

C. \(x = {40^0} + k{45^0}\)

D. \(x = {80^0} + k{180^0}\)

Câu 12: Giải phương trình \(1 + \cos x = 0\).

A. \(x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \)

B. \(x = \pi  + k2\pi \)

C. \(x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \)

D. \(x = k2\pi \)

Câu 13: Giải phương trình \(\sin 6x - \cos 4x = 0\).

A. \(x = \dfrac{\pi }{{20}} + k\dfrac{\pi }{5};\,x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \)

B. \(x = \dfrac{\pi }{{20}} + k\dfrac{\pi }{5};\,x = \dfrac{\pi }{4} + k\dfrac{\pi }{2}\)

C. \(x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi ;\,x = \dfrac{\pi }{{20}} + k\dfrac{{2\pi }}{5}\)

D. \(x = k\pi ;\,x = \dfrac{\pi }{{10}} + k\dfrac{\pi }{5}\)

Câu 14: Giải phương trình \(1 - 2\sin x = 0\).

A. \(\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\)

B. \(\left[ \begin{array}{l}x =  - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \dfrac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\)

C. \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \dfrac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\)

D. \(\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\)

Câu 15: Cho phương trình \(\cos 4x = 3m - 5\). Tìm \(m\) để phương trình đã cho có nghiệm.

A. \( - 1 \le m \le 1\)              B. \(\dfrac{4}{3} \le m \le 2\)

C. \( - 2 \le m \le \dfrac{4}{3}\)         D. \(\dfrac{4}{3} \le m \le 3\)

Câu 16: Cho phương trình \(2\cos 4x - {\rm{sin4}}x = m\) . Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình đã cho có nghiệm.

A. \( - \sqrt 3  \le m \le \sqrt 3 \)

B. \(m \le  - \sqrt 3 ;\,\,m \ge \sqrt 3 \)                         

C. \( - \sqrt 5  \le m \le \sqrt 5 \)

D. \(m \le  - \sqrt 5 ;\,\,m \ge \sqrt 5 \)

Câu 17: Giải phương trình \({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in3}}x + \sqrt 3 \cos 3x = 2\sin x\)

A. \(\left[ \begin{array}{l}x =  - \dfrac{\pi }{{12}} + k\pi \\x = \dfrac{{5\pi }}{{12}} + k\pi \end{array} \right.\)

B. \(\left[ \begin{array}{l}x =  - \dfrac{\pi }{6} + k\pi \\x = \dfrac{\pi }{6} + k\dfrac{\pi }{2}\end{array} \right.\)

C. \(\left[ \begin{array}{l}x =  - \dfrac{\pi }{6} + k\pi \\x = \dfrac{\pi }{3} + k\pi \end{array} \right.\)

D. \(\left[ \begin{array}{l}x =  - \dfrac{\pi }{{12}} + k\pi \\x = \dfrac{{5\pi }}{{24}} + k\dfrac{\pi }{2}\end{array} \right.\)

Câu 18: Giải phương trình \({\rm{sin3}}x - \sin x = 0\).

A. \(\left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \end{array} \right.\)

B. \(\left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.\)

C. \(\left[ \begin{array}{l}x = k\dfrac{\pi }{2}\\x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.\)

D. \(\left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = \dfrac{\pi }{4} + k\dfrac{\pi }{2}\end{array} \right.\)

Câu 19: Tìm giá trị nhỏ nhất \(m\) của hàm số \(y = {\sin ^2}x - 4{\cos ^2}x + 9\).

A. \(m = \dfrac{{15}}{2}\)   B. \(m = 5\)

C. \(m =  - \dfrac{5}{2}\)     D. \(m =  - 5\)

Câu 20: Hàm số nào sau đây xác định với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

A. \(y = 7 - 4\tan x\)             B. \(y = \dfrac{7}{{{{\sin }^2}x}}\)

C. \(y = \dfrac{{\sin x + 1}}{{3 - \cos x}}\)                  D. \(y = \cot x\)

II. PHẦN TỰ LUẬN

Câu 21: Giải các phương trình sau

\(a) \, \sin 3x = \cos x\)

\(b) \, 2{\sin ^2}x + \sqrt 3 \sin 2x = 2\)

Câu 22: Giải phương trình sau:

\(2\sin x + \cos x - \sin 2x - 1 = 0\)  

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM

Câu 1:

Ta có: \({\tan ^2}3x - 1 = 0 \Leftrightarrow \left( {\tan 3x - 1} \right)\left( {\tan 3x + 1} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan 3x = 1\\\tan 3x =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \\3x =  - \dfrac{\pi }{4} + k\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{{12}} + k\dfrac{\pi }{3}\\x =  - \dfrac{\pi }{{12}} + k\dfrac{\pi }{3}\end{array} \right.\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Chọn đáp án D.

Câu 2:

Điều kiện xác định:\(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Chọn đáp án C.

Câu 3:

Ta có: \(P = {\sin ^2}{45^0} - \cos {60^0} = {\left( {\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} = 0\)

Chọn đáp án A.

Câu 4:

Ta có: \({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in2}}x - \cos 2x =  - \sqrt 2  \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {2x - \dfrac{\pi }{4}} \right) =  - \sqrt 2 \)

\( \Leftrightarrow \sin \left( {2x - \dfrac{\pi }{4}} \right) =  - 1 \Leftrightarrow 2x - \dfrac{\pi }{4} =  - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \)

\( \Leftrightarrow 2x =  - \dfrac{\pi }{4} + k2\pi  \Leftrightarrow x =  - \dfrac{\pi }{8} + k\pi \;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Chọn đáp án C.

Câu 5:

Xét phương trình \(5\sin x - 2\cos x = 3\) có: \({5^2} + {\left( { - 2} \right)^2} > {3^2}\)

\( \Rightarrow \) Phương trình \(5\sin x - 2\cos x = 3\) có nghiệm.

Chọn đáp án A.

Câu 6:

Ta có: \(y = 7\cos 5x - 1 \Rightarrow 7.\left( { - 1} \right) - 1 \le y \le 7.1 - 1 \Leftrightarrow  - 8 \le y \le 6\)

Chọn đáp án C.

Câu 7:

Ta có: \(5 + 4\cos x = 0 \Leftrightarrow \cos x =  - \dfrac{5}{4} \le  - 1\)

\( \Rightarrow \) phương trình  \(5 + 4\cos x = 0\) vô nghiệm.

Chọn đáp án D.

Câu 8:

Ta có: \(\sqrt 3 \sin x + \cos x = 1 \Leftrightarrow 2\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{6}} \right) = 1\)

\( \Leftrightarrow \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{6}} \right) = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \dfrac{\pi }{6} = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x + \dfrac{\pi }{6} = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Chọn đáp án A.

Câu 9:

Ta có: \(y = \cos x = \cos \left( { - x} \right) \Rightarrow \)\(y = \cos x\) là hàm số chẵn.

Chọn đáp án B.

Câu 10:

Ta có: \(2{\sin ^2}x - 3\sin x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left( {\sin x - 2} \right)\left( {2\sin x + 1} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = 2\\\sin x =  - \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \dfrac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Chọn đáp án C.

Câu 11:

Ta có: \(\tan \left( {2x} \right) = \tan {\rm{8}}{0^0} \Leftrightarrow 2x = {80^0} + k{180^0} \Leftrightarrow x = {40^0} + k{90^0}\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Chọn đáp án B.

Câu 12:

Ta có: \(1 + \cos x = 0 \Leftrightarrow \cos x =  - 1 \Leftrightarrow x = \pi  + k2\pi \;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Chọn đáp án B.

Câu 13:

Ta có: \(\sin 6x - \cos 4x = 0 \Leftrightarrow \cos \left( {6x - \dfrac{\pi }{2}} \right) = \cos 4x\)

\(\left[ \begin{array}{l}6x - \dfrac{\pi }{2} = 4x + k2\pi \\6x - \dfrac{\pi }{2} =  - 4x + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \\x = \dfrac{\pi }{{20}} + k\dfrac{\pi }{5}\end{array} \right.\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Chọn đáp án A.

Câu 14:

Ta có: \(1 - 2\sin x = 0 \Leftrightarrow \sin x = \dfrac{1}{2}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Chọn đáp án D.

Câu 15:

Phương trình \(\cos 4x = 3m - 5\) có nghiệm khi và chỉ khi: \( - 1 \le 3m - 5 \le 1 \Leftrightarrow \dfrac{4}{3} \le m \le 2\)

Chọn đáp án B.

Câu 16:

Phương trình \(2\cos 4x - {\rm{sin4}}x = m\) có nghiệm khi và chỉ khi: \({2^2} + {\left( { - 1} \right)^2} \ge {m^2} \Leftrightarrow {m^2} \le 5\)

\( \Leftrightarrow  - \sqrt 5  \le m \le \sqrt 5 \).

Chọn đáp án C.

Câu 17:

Ta có: \({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in3}}x + \sqrt 3 \cos 3x = 2\sin x \Leftrightarrow 2\sin \left( {3x + \dfrac{\pi }{3}} \right) = 2\sin x\)

\( \Leftrightarrow \sin \left( {3x + \dfrac{\pi }{3}} \right) = \sin x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x + \dfrac{\pi }{3} = x + k2\pi \\3x + \dfrac{\pi }{3} = \pi  - x + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \dfrac{\pi }{6} + k\pi \\x = \dfrac{\pi }{6} + k\dfrac{\pi }{2}\end{array} \right.\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Chọn đáp án B.

Câu 18:

Ta có: \({\rm{sin3}}x - \sin x = 0 \Leftrightarrow \sin 3x = \sin x\)

\(\left[ \begin{array}{l}3x = x + k2\pi \\3x = \pi  - x + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = \dfrac{\pi }{4} + k\dfrac{\pi }{2}\end{array} \right.\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Chọn đáp án D.

Câu 19:

Ta có: \(y = {\sin ^2}x - 4{\cos ^2}x + 9 = {\sin ^2}x - 4\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right) + 9\)

\( = 5{\sin ^2}x + 5 = 5\left( {{{\sin }^2}x + 1} \right) \ge 5\left( {0 + 1} \right) = 5\)

Chọn đáp án B.

Câu 20:

Ta có: \(\cos x \in \left[ { - 1;1} \right] \Rightarrow 3 - \cos x \in \left[ {2;4} \right]\)

\( \Rightarrow y = \dfrac{{\sin x + 1}}{{3 - \cos x}}\) luôn xác định với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

Chọn đáp án C.

II. PHẦN TỰ LUẬN

Câu 21:

\(a) \, \sin 3x = \cos x \Leftrightarrow \sin 3x = \sin \left( {\dfrac{\pi }{2} - x} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = \dfrac{\pi }{2} - x + k2\pi \\3x = \pi  - \dfrac{\pi }{2} + x + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{8} + k\dfrac{\pi }{2}\\x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \end{array} \right.\)

Vậy phương trình có nghiệm là: \(x = \dfrac{\pi }{8} + k\dfrac{\pi }{2};\,x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \)

\(\begin{array}{l}b) & 2{\sin ^2}x + \sqrt 3 \sin 2x = 2 \Leftrightarrow 2.\dfrac{{1 - \cos 2x}}{2} + \sqrt 3 \sin 2x = 2 \Leftrightarrow \sqrt 3 \sin 2x - \cos 2x = 1\\ &  \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\sin 2x - \dfrac{1}{2}\cos 2x = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \cos \dfrac{\pi }{6}\sin 2x - \sin \dfrac{\pi }{6}\cos 2x = \dfrac{1}{2}\\ &  \Leftrightarrow \sin \left( {2x - \dfrac{\pi }{6}} \right) = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \sin \left( {2x - \dfrac{\pi }{6}} \right) = \sin \dfrac{\pi }{6} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - \dfrac{\pi }{6} = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\2x - \dfrac{\pi }{6} = \pi  - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} + k\pi \\x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.\end{array}\)

Vậy phương trình có nghiệm là: \(x = \dfrac{\pi }{6} + k\pi ;x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \)

Câu 22:

\(\begin{array}{l}2\sin x + \cos x - \sin 2x - 1 = 0 \Leftrightarrow 2\sin x + \cos x - 2\sin x\cos x - 1 = 0\\ \Leftrightarrow 2\sin x(1 - \cos x) - (1 - \cos x) = 0 \Leftrightarrow (1 - \cos x)(2\sin x - 1) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 - \cos x = 0\\2\sin x - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 1\\\sin x = \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\end{array}\)

Vậy phương trình có nghiệm là: \(x = k2\pi ;\,x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi ;\,x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \)