Câu 1.
a. Khi \(m= -1\) ta có hàm số \(y = - 2x + 2\) .
Tập xác định
\(x = 0 \Rightarrow y = 2\) : Đồ thị cắt trục tung tại điểm (0;2).
\(y = 0 \Rightarrow x = 1\) : Đồ thị cắt trục hoành tại điểm (1;0).
Đồ thị
b. Giả sử \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là điểm đồ thị luôn luôn đi qua khi m thay đổi.
Ta có:
Phương trình trên nghiệm đúng với mọi m khi và chỉ khi
\(\left\{ \matrix{ 2{x_0} - 1 = 0 \hfill \cr 1 - {y_0} = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x_0} = {1 \over 2} \hfill \cr {y_0} = 1 \hfill \cr} \right.\)
Vậy đồ thị luôn luôn đi qua điểm \(\left( {\dfrac{1}{2};1} \right)\) khi m thay đổi.
c. Phương trình hoành độ giao điểm parabol và đường thẳng
\({x^2} + 2x - 2 = 2mx + 1 - m\)
\(\Leftrightarrow {x^2} + 2\left( {1 - m} \right)x + m - 3 = 0\)
\(\Delta ' = {\left( {1 - m} \right)^2} - \left( {m - 3} \right)\)\(\, = {m^2} - 3m + 4 \)\(\,= {\left( {m - \dfrac{3}{2}} \right)^2} + \dfrac{7}{4} > 0,\,\forall m \in \mathbb{R}\)
Suy ra đường thẳng luôn luôn cắt parabol tại hai điểm phân biệt với mọi m.
Câu 2.
a. Xét phương trình \(\left( {{x^2} + x - 2} \right)\left( {{x^2} + x - 3} \right) = 12\)
Đặt \(t = {x^2} + x - 2\) .Phương trình trở thành
\(t\left( {t - 1} \right) = 12 \Leftrightarrow {t^2} - t - 12 = 0\)
\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{ t = 4 \hfill \cr t = - 3 \hfill \cr} \right.\)
Với: \({x^2} + x - 2 = 4 \Leftrightarrow {x^2} + x - 6 = 0 \)
\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = - 3 \hfill \cr x = 2 \hfill \cr} \right.\)
Với: \({x^2} + x - 2 = - 3 \Leftrightarrow {x^2} + x + 1 = 0\) . Phương trình vô nghiệm.
Kết luận: Phương trình đã cho có hai nghiệm \(x= -3, x= 2.\)
b. Xét phương trình \(\dfrac{{x - m}}{{x - 1}} = {m^2}\) (1)
Điều kiện xác định: \(x \ne 1\) .
Với điều kiện trên phương trình tương đương
\(x - m = {m^2}\left( {x - 1} \right) \)
\(\Leftrightarrow \left( {{m^2} - 1} \right)x = {m^2} - m\) (2)
Với \({m^2} - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \pm 1\) : Phương trình (2) có nghiệm duy nhất
\(x = \dfrac{{{m^2} - m}}{{{m^2} - 1}} = \dfrac{m}{{m - 1}}\)
Nghiệm này thỏa mãn điều kiện \(x \ne 1\) .
Với: \({m^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow m = \pm 1\)
+) \(m= 1\) phương trình (2) trở thành \(0x= 0\). Phương trình nghiệm đúng với mọi . Suy ra phương trình (1) nghiệm đúng với mọi \(x \ne 1\) .
+) \(m= -1\) phương trình (2) trở thành \(0x= 2\). Phương trình vô nghiệm. Suy ra phương trình (1) vô nghiệm.
Kết luận:
\(m \ne \pm 1:x = \dfrac{m}{{m - 1}}\)
\(m = 1:x \ne 1\)
\(m = - 1\) : Vô nghiệm
Câu 3.
a. Xét phương trình \(m{x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + m + 2 = 0\).
Phương trình có nghiệm x= 2 khi: \(4m - 4\left( {m + 1} \right) + m + 2 = 0\)\(\;\Leftrightarrow m = 2\) .
Khi đó phương trình trở thành \(2{x^2} - 6x + 4 = 0\)
\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 2 \hfill \cr x = 1 \hfill \cr} \right.\)
Vậy phương trình có nghiệm \(x= 2\) khi \(m= 2\). Nghiệm còn lại là \(x= 1\).
b. Lập \(\Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} - m\left( {m + 2} \right) = 1 > 0\) .
Suy ra phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với \(\forall m \ne 0\) .
Khi đó tổng các nghiệm là: \(S = \dfrac{{2\left( {m + 1} \right)}}{m} = 2 + \dfrac{2}{m}\).
S là số nguyên khi và chỉ khi m là ước số của 2.
Vậy \(m = \pm 1,m = \pm 2\) .
