Bài 1.
Ta có: \(AB + AC – BC \)\(\,= AM + MB + AS + SC – BN – NC\)
Mà \(AM = AS, MB = NB, CS = NC\) (tính chất tiếp tuyến cắt nhau)
\(⇒ AB + AC – BC \)\(\,= AM + AS = 2AM.\)
Bài 2.
a. Ta có: H, K lần lượt là trung điểm của AC và AD (gt) nên \(OH ⊥ AC\) và \(O’K ⊥ AD\) (định lí đường kính dây cung). Do đó tứ giác OHKO’ là hình thang vuông.
Gọi P là giao điểm của OO’ và đường thẳng qua I vuông góc với CD, ta có: IP là đường trung bình của hình thang OHKO’ \(⇒ P\) là trung điểm của OO’ nên P cố định.
b. Kẻ OM, O’N lần lượt vuông góc với EF. Ta có OMBO’ là hình thang vuông có PA là đường trung bình nên A là trung điểm của MN hay \(AM = AN ⇒ AE = AF.\)
c. Dễ thấy \(\widehat {ABR} = \widehat {ABQ} = 90^\circ \) (chắn các nửa đường tròn)
\( \Rightarrow \widehat {RBA} + \widehat {ABQ} = 180^\circ \) \(⇒\) Ba điểm R, B, Q thẳng hàng.