a)Ta có CO là phân giác của \(\widehat {AOM}\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Tương tự OD là phân giác của \(\widehat {MOB}\) mà \(\widehat {AOM} + \widehat {MOB} = 180^\circ \)
\( \Rightarrow \widehat {COD} = 90^\circ \) nên ∆COD vuông tại O có đường cao OM ta có
\(MC.MD = MO^2= R^2\) mà \(MC = AC, MD = BD\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
\(\Rightarrow AC.BD = R^2\) (1) không đổi.
b)
Dễ thấy tứ giác ACMO nội tiếp ( vì \(\widehat {CAO} + \widehat {CMO} = 180^\circ \))
\( \Rightarrow \widehat {MCO} = \widehat {MAO}\) ( góc nội tiếp cùng chắn)
Tương tự ta có tứ giác BDMO nội tiếp \( \Rightarrow \widehat {MDO} = \widehat {MBO}\)
Do đó ∆COD và ∆AMB đồng dạng (g.c.g) \( \Rightarrow {{{S_{COD}}} \over {{S_{AMB}}}} = {\left( {{{CD} \over {AB}}} \right)^2}\)
Ta tính CD theo R : Từ (1) \( \Rightarrow BD = {{{R^2}} \over {AC}} = {{{R^2}} \over {{R \over 2}}} = 2R\)
Do đó \(DM = BD = 2R.\)
Ta có \(CD = CM + DM = {R \over 2} + 2R = {{5R} \over 2}\)
Vậy \({{{S_{COD}}} \over {{S_{AMB}}}} = {\left( {{{5R} \over 2}} \right)^2}:{\left( {2R} \right)^2} = {{25} \over {16}}.\)
Do Ax, By là hai tiếp tuyến của (O) nên Ax // By ( vì cùng vuông góc với AB) nên ACDB là hình thang vuông.
Khi cho hình thang quay quanh cạnh đáy AB thì thể tích của hình được sinh ra do giới hạn bởi nửa đường tròn đường kính AB và hình thang ACDB là hiệu giữa thể tích hình nón cụt có đáy lớn \(BD = 2R\), đáy nhỏ \(AC = {R \over 2}\), chiều cao \(AB = 2R\) và thể tích hình cầu tâm O bán kính R.
Gọi Vn là thể tích của hình nón cụt.
\({V_n} = {1 \over 3}\pi \left( {{R^2} + r + R.r} \right).h \)
\(\;\;\;\;\;= {1 \over 3}\pi \left( {B{D^2} + A{C^2} + BD.AC} \right).AB\)
\(\;\;\;\;\;={1 \over 3}\pi \left[ {{{\left( {2R} \right)}^2} + {{\left( {{R \over 2}} \right)}^2} + 2R.{R \over 2}} \right].2R \)
\(\;\;\;\;\;= {2 \over 3}\pi R\left( {4{R^2} + {{{R^2}} \over 4} + {R^2}} \right) = {{7\pi {R^3}} \over 2}\)
Gọi Vc là thể tích hình cầu : \({V_c} = {4 \over 3}\pi {R^3}\)
và V là thể tích cần tìm : \(V = {V_n} - {V_c} = {{7\pi {R^3}} \over 2} - {4 \over 3}\pi {R^3} = {{13\pi {R^3}} \over 6}\).