Ôn tập chương IV – Hình trụ - Hình nón – Hình cầu

Hãy tính thể tích , diện tích bề mặt một chi tiết máy theo kích thước đã cho trên hình 114. 

Diện tích toàn phần của hình trụ có đường kính đáy \(11 cm\), chiều cao là \(2cm\) và là: 

\({S_{tp(1)}} = 2\pi R_1{h_1} + 2\pi {R_1}^2 \)

\(\displaystyle = 2\pi {{11} \over 2}.2 + 2\pi .5,5^2 = 82,5 \pi \left( {c{m^2}} \right)\)

Diện tích xung quanh của hình trụ có đường kính đáy là \(6cm\) và chiều cao là \(7cm\) là:

\(\displaystyle {S_{xq(2)}} = 2\pi R_2 {h_2} = 2\pi {6 \over 2}.7 = 42\pi \left( {c{m^2}} \right)\) 

Vậy diện tích bề mặt của chi tiết máy là:

\(S = {S_{tp(1)}} + {\rm{ }}{S_{xq(2)}} = 82,5\pi  + 42\pi  = 124,5\pi (c{m^2}).\)

Một hình chữ nhật \(ABCD\) có \(AB > AD\), diện tích và chu vi của nó theo thứ tự là \(2a^2\) và \(6a\). Cho hình vẽ quay xung quanh cạnh \(AB\), ta được một hình trụ.

Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ này. 

Diện tích hình chữ nhật \(ABCD\) là: \(AB.AD = 2a^2\) (1)

Chu vi hình chữ nhật  là: \(2(AB + CD) = 6a ⇒ AB + CD = 3a\) (2)

Từ (1) và (2), ta có \(AB\) và \(CD\) là nghiệm của phương trình:

\({x^2}-{\rm{ }}3ax{\rm{ }}-{\rm{ }}2{a^2} = {\rm{ }}0\)

Giải phương trình ta được: \({x_1} = {\rm{ }}2a;{\rm{ }}{x_2} = {\rm{ }}a\)

Theo giả thiết \(AB > AD\) nên ta chọn \(AB = 2a; AD = a\)

Khi quay hình chữ nhật quanh \(AB\) ta được hình trụ có \(h=AB=2a\) và \(r=AD=a.\)

Vậy diện tích xung quanh hình trụ là:

\({S_{xq}} = 2\pi .AD.AB = 2\pi .a.2a = 4{\rm{ }}\pi {a^2}\)

Thể tích hình trụ là:

\(V{\rm{ }} = {\rm{ }}\pi {\rm{ }}.{\rm{ }}A{D^2}.{\rm{ }}AB{\rm{ }} = {\rm{ }}\pi .{\rm{ }}{a^2}.{\rm{ }}2a{\rm{ }} = {\rm{ }}2\pi {a^3}\)

Hãy tính diện tích toàn phần của các hình tương ứng theo các kích thước đã cho trên hình 115.

Cho ba điểm \(A, O, B\) thẳng hàng theo thứ tự đó, \(OA = a, OB = b\) (\(a,b\) cùng đơn vị: cm).

Qua \(A\) và \(B\) vẽ theo thứ tự các tia \(Ax\) và \(By\) cùng vuông góc với \(AB\) và cùng phía với \(AB\). Qua \(O\) vẽ hai tia vuông góc với nhau và cắt \(Ax\) ở \(C\), \(By\) ở \(D\) (xem hình 116).

a) Chứng minh \(AOC\) và \(BDO\) là hai tam giác đồng dạng; từ đó suy ra tích \(AC.BD\) không đổi.

b) Tính diện tích hình thang \(ABDC\) khi \(\widehat {COA} = {60^0}\) 

c) Với \(\widehat {COA} = {60^0}\) cho hình vẽ quay xung quanh \(AB\). Hãy tính tỉ số tích các hình do các tam giác \(AOC\) và \(BOD\) tạo thành

Tam giác \(AOC\) khi quay quanh cạnh \(AB\) tạo thành hình nón có chiều cao \(OA = a\) và bán kính đáy \(AC = a\sqrt 3 \)  nên thể tích hình nón là \({V_1} = \dfrac{1}{3}\pi .OA.A{C^2} = \dfrac{1}{3}\pi .a.{\left( {a\sqrt 3 } \right)^2} = \pi {a^3}\left( {c{m^3}} \right)\)

Tam giác \(BOD\) khi quay quanh cạnh \(AB\) tạo thành hình nón có chiều cao \(OB = b\) và bán kính đáy \(BD = \dfrac{{b\sqrt 3 }}{3}\)  nên thể tích hình nón là \({V_2} = \dfrac{1}{3}\pi .OB.B{D^2} = \dfrac{1}{3}\pi .b.{\left( {\dfrac{{b\sqrt 3 }}{3}} \right)^2} = \dfrac{{\pi {b^3}}}{9}\left( {c{m^3}} \right)\)

Do đó \(\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \dfrac{{\pi {a^3}}}{{\dfrac{{\pi {b^3}}}{9}}} = \dfrac{{9{a^3}}}{{{b^3}}}\)

Hãy tính thể tích các hình dưới đây theo kích thước đã cho (h.117).

 Hãy tính thể tích các hình dưới đây theo kích thước đã cho (h.118) (đơn vị : cm).

Cho hình vuông \(ABCD\) nội tiếp đường tròn tâm \(O\), bán kính \(R\) và \(GEF\) là tam giác đều nội tiếp đường tròn đó, \(EF\) là dây song song với \(AB\) (h.119). Cho hình đó quay quanh trục \(GO\). Chứng minh rằng:

a) Bình phương thể tích của hình trụ sinh ra bởi hình vuông bằng tích của thể tích hình cầu sinh ra bởi hình tròn và thể tích hình nón do tam giác đều sinh ra.

b) Bình phương diện tích toàn phần của hình trụ bằng tích của diện tích hình cầu và diện tích toàn phần của hình nón.

Hình 120 mô tả một hình cầu được đặt khít vào trong một hình trụ, các kích thước cho trên hình vẽ.

Hãy tính:

a)Thể tích hình cầu.

b) Thể tích hình trụ.

c) Hiệu giữa thể tích hình trụ và thể tích hình cầu.

d) Thể tích của một hình nón có bán kính đường tròn đáy là \(r \, (cm)\) và chiều cao \(2r\, (cm)\).

e) Từ các kết quả a), b), c), d) hãy tìm mối liên hệ giữa chúng.

Bài 1: Cho hình chữ nhật ABCD có \(AB = a, BC = 2a\). Tính diện tích toàn phần và thể tích hình tạo ra khi quay tam giác ABC một vòng quanh AD.

Bài  2: Chi tiết máy có dạng như hình vẽ.

Tính diện tích bề mặt và thể tích của chi tiết đó.

Bài 1: Cho tam giác ABC có \(\widehat B = 60^\circ ,\widehat C = 45^\circ \) nội tiếp đường tròn (O; R). Từ A vẽ đường thẳng vuông góc với BC cắt BC ở H và cắt đường tròn ở điểm thứ hai D.

a) Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC theo R.

b) Chứng minh tứ giác ABDC là hình thang cân và tính diện tích của tứ giác ấy theo R.

c) Quay hình thang cân ABDC một vòng xung quanh trục đối xứng của nó, hình được sinh ra là hình gì ? Tính thể tích của hình được sinh ra.

Bài 2: Chi tiết máy có dạng như hình vẽ. Tính diện tích bề mặt và thể tích của chi tiết đó.