Bài 1.
a. Dễ thấy ∆ADC đồng dạng ∆BEC (g.g)
b. ∆ABC cân tại A nên đường cao AD đồng thời là đường phân giác \(\widehat {BAD} = \widehat {CAD} = {{\widehat A} \over 2} = \alpha \)
Xét tam giác vuông ADB có:
\(BD = AB.\sin \widehat {BAD} = 1.\sin \alpha = \sin \alpha \)
Mặt khác ∆ABC cân nên đường cao AD cũng đồng thời là đường trung tuyến hay BC = 2BD = 2sinα
Xét tam giác vuông CEB có \(\widehat {CBE} = \widehat {CAD} = \alpha \) (cùng phụ với góc C)
Ta có: \(BE = BC.\cos \widehat {CBE} = BC.\cos \alpha \)\(\;= 2\sin \alpha .\cos \alpha \) (1)
Xét tam giác vuông AEB, ta có: \(\sin A = {{BE} \over {AB}} = {{BE} \over 1} = BE\) (2)
Từ (1) và (2) ⇒ sinA = 2sinα.cosα
Bài 2.
a. Ta có:
\(\eqalign{ & {\sin ^2}C + {\cos ^2}C = 1 \cr & \Rightarrow \sin C = \sqrt {1 - {{\cos }^2}C} \cr&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \sqrt {1 - {{\left( {{3 \over 5}} \right)}^2}} = {4 \over 5} \cr} \)
Do đó:
\(\eqalign{ & \cos B = {4 \over 5} \cr & \cos C = {3 \over 5} \cr} \)
\( \Rightarrow \sin B = {3 \over 5}\) (vì góc B và góc C là hai góc phụ nhau)
Vậy \(\tan B = {{\sin B} \over {\cos B}} = {3 \over 5}:{4 \over 5} = {3 \over 4} \)\(\Rightarrow \cot B = {4 \over 3}\)
Cách khác tính tanB (gần gũi hơn) :
\(\eqalign{ & \cos C = {{AC} \over {BC}}\,hay\,{3 \over 5} = {{21} \over {BC}}\cr& \Rightarrow BC = {{21.5} \over 3} = 35 \cr & \Rightarrow AB = \sqrt {B{C^2} - A{C^2}} \cr&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= \sqrt {{{35}^2} - {{21}^2}} = 28 \cr} \)
Do đó: \(\tan B = {{AC} \over {AB}} = {{21} \over {28}} = {3 \over 4}\)
b. Ta có: ∆ABC vuông tại A:
\( AB = AC.\tan C = AC.cotB \)\(\;= 21.{4 \over 3} = 28\,\left( {cm} \right) \)
và \(\,BC = {{AC} \over {\cos C}} = {{21} \over {{3 \over 5}}} = 35\,\left( {cm} \right) \)
AD là phân giác của ∆ABC ta có:
\({{DB} \over {DC}} = {{AB} \over {AC}} = {{28} \over {21}} = {4 \over 3} \)
\(\Rightarrow {{DB} \over 4} = {{DC} \over 3} = {{DB + DC} \over {4 + 3}} \)\(\;= {{BC} \over 7} = {{35} \over 7} = 5\)
Vậy \(DB = 5.4 = 20 (cm)\); \(DC = 5.3 = 15 (cm)\).
