a) Với \(n = 1\), vế trái chỉ có một số hạng là \(2\), vế phải bằng \( \dfrac{1.(3.1+1)}{2} = 2\).
Do đó hệ thức a) đúng với \(n = 1\).
Đặt vế trái bằng \(S_n\)
Giả sử đẳng thức a) đúng với \(n = k ≥ 1\), tức là
\(S_k=2 + 5 + 8 + …+ 3k – 1 \) \(= \dfrac{k(3k+1)}{2}\)
Ta phải chứng minh rằng a) cũng đúng với \(n = k + 1\), nghĩa là phải chứng minh
\(S_{k+1}= 2 + 5 + 8 + ….+ 3k -1 + (3(k + 1) – 1) \) \(= \dfrac{(k+1)(3(k+1)+1)}{2}\)
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có: \({S_{k + 1}} = {\rm{ }}{S_k} + {\rm{ }}3k{\rm{ }} + {\rm{ }}2 \)
\( = \dfrac{{k(3k + 1)}}{2} + 3k + 2\)
\( = \dfrac{{3{k^2} + k + 6k + 4}}{2}\) \( =\dfrac{3(k^{2}+2k+1)+k+1}{2}\) \(=\dfrac{(k+1)(3(k+1)+1)}{2}\) (điều phải chứng minh)
Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức a) đúng với mọi \(n \in {\mathbb N}^*\)
b) Với \(n = 1\), vế trái bằng \( \dfrac{1}{2}\), vế phải bằng \( \dfrac{1}{2}\), do đó hệ thức đúng với \(n=1\).
Đặt vế trái bằng \(S_n\).
Giả sử hệ thức b) đúng với \(n = k ≥ 1\), tức là \( S_{k}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+...+\dfrac{1}{2^{k}}\) \(=\dfrac{2^{k}-1}{2^{k}}\)
Ta phải chứng minh \( S_{k+1}=\dfrac{2^{k+1}-1}{2^{k+1}}\).
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có: \( S_{k+1}=S_{k}+\dfrac{1}{2^{k+1}}\) \(=\dfrac{2^{k}-1}{2^{k}}+\dfrac{1}{2^{k+1}}\) \( = \dfrac{{2\left( {{2^k} - 1} \right) + 1}}{{{2^{k + 1}}}}\) \(= \dfrac{2^{k+1}-2+1}{2^{k+1}}=\dfrac{2^{k+1}-1}{2^{k+1}}\) (điều phải chứng minh)
Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức b) đúng với mọi \(n \in {\mathbb N}^*\)
c) Với \(n = 1\), vế trái bằng \(1\), vế phải bằng \( \dfrac{1(1+1)(2+1)}{6}= 1\) nên hệ thức c) đúng với \(n = 1\).
Đặt vế trái bằng \(S_n\).
Giả sử hệ thức c) đúng với \(n = k ≥ 1\), tức là
\(S_k= {1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {k^2}\) \(=\dfrac{k(k+1)(2k+1)}{6}\)
Ta phải chứng minh \( S_{k+1}=\dfrac{(k+1)(k+2)(2(k+1)+1)}{6}\)
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có:
\({S_{k + 1}} = {\rm{ }}{S_k} + {\rm{ }}{\left( {k{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)^2}\) \( = \dfrac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1)^{2}\) \(= (k + 1).\dfrac{k(2k+1)+6(k+1)}{6} \) \(= (k + 1)\dfrac{2k^{2}+k+6k+6}{6}\)
\( =\dfrac{(k+1)(2k(k+2)+3(k+2)}{6}\) \(=\dfrac{(k+1)(k+2)(2(k+1)+1)}{6}\) (đpcm)
Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức c) đúng với mọi \(n \in {\mathbb N}^*\).
