Ta chứng minh khẳng định đúng với mọi \(n \in{\mathbb N}^*\), \(n ≥ 4\).
*) Với \(n = 4\), ta có tứ giác nên nó có hai đường chéo.
Mặt khác thay \(n = 4\) vào công thức, ta có số đường chéo của tứ giác theo công thức là: \(\displaystyle {{4(4 - 3)} \over 2} = 2\)
Vậy khẳng định đúng với \(n= 4\).
*) Giả sử khẳng định đúng với \(n = k ≥ 4\), tức là đa giác lồi \(k\) cạnh có số đường chéo là \(\displaystyle {{k(k - 3)} \over 2}\)
Vậy số đường chéo của đa giác \(k + 1\) cạnh là
\(\displaystyle {{k(k - 3)} \over 2}+ k - 2 + 1\) \(\displaystyle ={{{k^2} - k - 2} \over 2} \) \(\displaystyle = {{(k + 1)((k + 1) - 3)} \over 2}\)
Như vậy, khẳng định cũng đúng với đa giác \(k + 1\) cạnh
Vậy bài toán đã được chứng minh.
