a) Ta có:
\(\eqalign{
& {S_1} = {1 \over {1.2}} = {1 \over 2} \cr
& {S_2} = {1 \over {1.2}} + {1 \over {2.3}} = {2 \over 3} \cr
& {S_3} = {1 \over {1.2}} + {1 \over {2.3}} + {1 \over {3.4}} = {3 \over 4} \cr} \)
b) Từ câu a) ta dự đoán \(\displaystyle {S_n} = {n \over {n + 1}}(1)\), với mọi \(n\in {\mathbb N}^*\)
Ta sẽ chứng minh đẳng thức (1) bằng phương pháp quy nạp
Khi \(n = 1\), vế trái là \(\displaystyle {S_1} = {1 \over 2}\) vế phải bằng \(\displaystyle {1 \over {1 + 1}} = {1 \over 2}\). Vậy đẳng thức (1) đúng.
Giả sử đẳng thức (1) đúng với \(n\ge 1\), tức là
\(\displaystyle {S_k} = {1 \over {1.2}} + {1 \over {2.3}} + ... + {1 \over {k(k + 1)}} = {k \over {k + 1}}\)
Ta phải chứng minh đẳng thức đúng với \(n = k + 1\), nghĩa là phải chứng minh: \(\displaystyle {S_{k + 1}} = {{k + 1} \over {k + 2}}\)
Ta có :
\(\displaystyle {S_{k + 1}} = {S_k} + {1 \over {(k + 1)(k + 2)}} \) \(\displaystyle = {k \over {k + 1}} + {1 \over {(k + 1)(k + 2)}}\) \( = \dfrac{{k\left( {k + 2} \right) + 1}}{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}\)
\(\displaystyle = {{{k^2} + 2k + 1} \over {(k + 1)(k + 2)}} = {{k + 1} \over {k + 2}}\)
tức là đẳng thức (1) đúng với \(n = k + 1\).
Vậy đẳng thức (1) đã được chứng minh.
