a) Vì \(3^2>3.2+1\) nên bất đẳng thức đúng với \(n = 2\).
Giả sử bất đẳng thức đúng với \(n = k ≥ 2\), tức là
\(3^k> 3k + 1\) (1).
Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với \(n=k+1\), tức là cần chứng minh: \(3^{k+1}> 3(k+1) + 1=3k+4\)
Nhân hai vế của (1) với \(3\), ta được:
\(3^{k+1} > 9k + 3 \Leftrightarrow 3^{k+1} > 3k + 4 + 6k -1\)
Vì \(k \ge 2 \Rightarrow 6k - 1 \ge 11 > 0\) nên \(3^{k+1} > 3k + 4\).
Tức là bất đẳng thức đúng với \(n = k + 1\).
Vậy theo phương pháp quy nạp toán học thì bất đẳng thức \(3^n> 3n + 1\) đúng với mọi số tự nhiên \(n ≥ 2\).
b) Với \(n = 2\) thì vế trái bằng \(2^{2+1}=8\), vế phải bằng \(2.2+3=7\). Vậy bất đẳng thức đúng với \(n = 2\)
Giả sử bất đẳng thức đúng với \(n = k ≥ 2\), tức là
\(2^{k+1} > 2k + 3\) (2)
Ta phải chứng minh nó cũng đúng với \(n= k + 1\), nghĩa là phải chứng minh
\({2^{k{\rm{ }} + {\rm{ }}2}} > 2\left( {k{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right) + 3{\rm{ }} \Leftrightarrow {2^{k{\rm{ }} + {\rm{ }}2}} > 2k + 5\)
Nhân hai vế của bất đẳng thức (2) với \(2\), ta được:
\({2^{k + 2}} > 4k + 6 \Leftrightarrow {2^{k+2}} > 2k + 5 + 2k + 1\)
Vì \(l \ge 2 \Rightarrow 2k + 1> 0\) nên \({2^{(k + 2)}}> 2k + 5\).
Tức là bất đẳng thức đúng với \(n=k+1\).
Vậy theo phương pháp quy nạp toán học thì bất đẳng thức \({2^{n+1}} > 2n + 3\) đúng với mọi số tự nhiên \(n ≥ 2\).
