a) Ta có:
\({{z + i} \over {z - i}} = {{x + \left( {y + 1} \right)i} \over {x + \left( {y - 1} \right)i}} = {{\left[ {x + \left( {y + 1} \right)i} \right]\left[ {x - \left( {y - 1} \right)i} \right]} \over {{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}} = {{{x^2} + {y^2} - 1} \over {{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}} + {{2x} \over {{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}}i\)
Vậy phần thực là \({{{x^2} + {y^2} - 1} \over {{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}}\), phần ảo là \({{2x} \over {{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}}\).
b) Với \(z \ne i\), \({{z + i} \over {z - i}}\) là số thực dương khi và chỉ khi
\(\left\{ \matrix{ x = 0 \hfill \cr {x^2} + {y^2} - 1 > 0 \hfill \cr} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
{y^2} > 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
\left[ \matrix{
y > 1 \hfill \cr
y < - 1 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right.\)
Vậy quỹ tích là trục ảo bỏ đoạn thẳng nối \(I, J\) ( \(I\) biểu diễn \(i\) và \(J\) biểu diễn \(-i\)).
