a) \(x^2+ \sqrt{x+8}\leq -3\)
TXĐ: \(D = [- 8; +∞)\).
Dễ thấy, \(VT> 0\) với mọi \(x ∈ D\) trong khi vế phải là số âm.
Mệnh đề sai với mọi \(x ∈ D\). Vậy bất phương trình vô nghiệm.
b) \(\sqrt{1+2(x-3)^{2}}+\sqrt{5-4x+x^{2}}< \dfrac{3}{2}\)
Vế trái có \(\sqrt{1+2(x-3)^{2}}≥ 1 \) \(∀x ∈\mathbb R\),
\(\sqrt{5-4x+x^{2}}=\sqrt{1+(x-2)^{2}}≥ 1\) \(∀x ∈\mathbb R\)
Suy ra: \(\sqrt{1+2(x-3)^{2}}\) + \(\sqrt{5-4x+x^{2}} ≥ 2, ∀ x ∈\mathbb R\)
Mệnh đề sai \(∀x ∈\mathbb R\).
Bất phương trình vô nghiệm.
c) \(\sqrt{1+x^{2}}-\sqrt{7+x^{2}}> 1\)
\(\eqalign{
& 1 + {x^2} < 7 + {x^2} \cr&\Rightarrow \sqrt {1 + {x^2}} < \sqrt {7 + {x^2}} \cr
& \Rightarrow \sqrt {1 + {x^2}} - \sqrt {7 + {x^2}} < 0 \cr} \)
\( \Rightarrow \sqrt {1 + {x^2}} - \sqrt {7 + {x^2}} > 1\) Vô nghiệm.
