a) Ta có: \(a = 3;b = 1;c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} = 2\sqrt 2 .\)
\({F_1}\left( { - 2\sqrt 2 ;0} \right);\,{F_2}\left( {2\sqrt 2 ;0} \right)\)
Gọi M là điểm trên (E) có hoành độ \(x = 2\sqrt 2 \)
Thay \(x = 2\sqrt 2 \) vào phương trình (E) ta được:
\({8 \over 9} + {{{y^2}} \over 1} = 1 \Leftrightarrow {y^2} = {1 \over 9} \Leftrightarrow y = \pm {1 \over 3}.\)
Vậy \({M_1}\left( {2\sqrt 2 ;{1 \over 3}} \right);{M_2}\left( {2\sqrt 2 ; - {1 \over 3}} \right)\) và độ dài dây cung cần tìm là \({M_1}{M_2} = {2 \over 3}\)
b) Ta có:
\(\eqalign{
& M{F_1} = a + {c \over a}x = 3 + {{2\sqrt 2 } \over 3}x \cr
& M{F_2} = a - {c \over a}x = 3 - {{2\sqrt 2 } \over 3}x \cr
& M{F_1} = 2M{F_2} \Leftrightarrow 3 + {{2\sqrt 2 } \over 3}x = 6 - {{4\sqrt 2 } \over 3}x \cr&\Leftrightarrow 2\sqrt 2 x = 3 \Leftrightarrow x = {{3\sqrt 2 } \over 4}. \cr} \)
Thay \(x = {{3\sqrt 2 } \over 4}\) vào phương trình elip ta được:
\({2 \over {16}} + {y^2} = 1 \Leftrightarrow {y^2} = {7 \over 8} \Leftrightarrow y = \pm {{\sqrt {14} } \over 4}.\)
Vậy \({M_1}\left( {{{3\sqrt 2 } \over 4};{{\sqrt {14} } \over 4}} \right);{M_2}\left( {{{3\sqrt 2 } \over 4}; - {{\sqrt {14} } \over 4}} \right).\)