Ôn tập chương III – Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Xét vị trí tương đối của các đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) trong mỗi trường hợp sau

a) \({\Delta _1}:3x - 2y + 1 = 0\) và \({\Delta _2}:2x + 3y - 5 = 0;\)

b)

\({\Delta _1}:\left\{ \matrix{ x = 4 + 2t \hfill \cr y = - 1 + t \hfill \cr} \right.\)

 và 

\({\Delta _2}:\left\{ \matrix{ x = 7-{4t'} \hfill \cr y = 5-{2 t'} \hfill \cr} \right.\)

c)

\({\Delta _1}:\left\{ \matrix{ x = 3 + 4t \hfill \cr y = - 2 - 5t \hfill \cr} \right.\)

 và \({\Delta _2}:5x + 4y - 7 = 0.\)

Cho đường thẳng  \(\Delta :3x - 4y + 2 = 0.\)

a) Viết phương trình của Δ dưới dạng tham số.

b) Viết phương trình của Δ dưới dạng phương trình theo đoạn chắn.

c) Tính khoảng cách từ mỗi điểm \(M(3;5),N( - 4;0),P(2;1)\) tới Δ và xét xem đường thẳng  cắt cạnh nào của tam giác MNP.

d) Tính góc hợp bởi Δ và mỗi trục tọa độ.

Cho đường thẳng \(d:x - y + 2 = 0\) và điểm A(2, 0)

a) Với điều kiện nào của x và y thì điểm M(x, y) thuộc nửa mặt phẳng có bờ d và chứa gốc tọa độ O? Chứng minh điểm A nằm trong nửa mặt phẳng đó.

b) Tìm điểm đối xứng với điểm O qua đường thẳng d.

c) Tìm điểm M trên d sao cho chu vi tam giác OMA nhỏ nhất.

Cho đường thẳng \(\Delta :ax + by + c = 0\) và điểm \(I({x_0};{y_0}).\)Viết phương trình đường thẳng  đối xứng với đường thẳng Δ qua I.

Một hình bình hành có hai cạnh nằm trên hai đường thẳng x + 3y - 6 = 0 và 2x - 5y - 1 = 0. Biết hình bình hành đó có tâm đối xứng là I(3, 5). Hãy viết phương trình hai cạnh còn lại của hình bình hành đó.

Cho phương trình

\({x^2} + {y^2} + mx - 2(m + 1)y + 1 = 0.\,\,\,\,\,(1)\)

a) Với giá trị nào của m thì (1) là phương trình đường tròn?

b) Tìm tập hợp tâm của các đường tròn nói ở câu a).

a) Biết đường tròn (C) có phương trình \({x^2} + {y^2} + 2ax + 2by + c = 0.\) Chứng minh rằng phương tích của điểm \(M({x_0};{y_0})\) đối với đường tròn (C) bằng \(x_0^2 + y_0^2 + 2a{x_0} + 2b{y_0} + c.\)

b) Chứng minh rằng nếu hai đường tròn không đồng tâm thì tập hợp các điểm có cùng phương tích đối với hai đường tròn là một đường thẳng (gọi là trục đẳng phương của hai đường tròn).

Cho hai đường tròn có phương trình \({x^2} + {y^2} + 2{a_1}x + 2{b_1}y + {c_1} = 0\) và \({x^2} + {y^2} + 2{a_2}x + 2{b_2}y + {c_2} = 0.\) Giả sử chúng cắt nhau ở hai điểm M,N. Viết phương trình đường thẳng MN.

Cho đường tròn \((C):\,\,{x^2} + {y^2} = 4\) và điểm A(-2, 3)

a) Viết phương trình của các tiếp tuyến của (C) kể từ A.

b) Tính các khoảng cách từ A đến tiếp điểm của hai tiếp tuyến nói ở câu a) và khoảng cách giữa hai tiếp điểm đó.

Cho \((E):{{{x^2}} \over 5} + {{{y^2}} \over 4} = 1\) và hypebol \((H):{{{x^2}} \over 5} - {{{y^2}} \over 4} = 1.\)

a) Tìm tọa độ các tiêu điểm của (E) và (H).

b) Vẽ phác elip (E) và hypebol (H) trong cùng một hệ trục tọa độ.

c) Tìm tọa độ các giao điểm của (E) và (H).

Cho đường thẳng \(\Delta :2x - y - m = 0\) và elip \((E):{{{x^2}} \over 5} + {{{y^2}} \over 4} = 1.\)

a) Với giá trị nào của m thì Δ cắt (E) tại hai điểm phân biệt?

b) Với giá trị nào của m thì Δ cắt (E) tại một điểm duy nhất?

Cho elip \((E):{{{x^2}} \over {25}} + {{{y^2}} \over 9} = 1.\)

a) Xác định tọa độ hai tiêu điểm  và các đỉnh của (E).

b) Viết phương trình chính tắc của hypebol (H) nhận các tiêu điểm của (E) làm đỉnh và có hai tiêu điểm là hai đỉnh của elip (E).

c) Vẽ phác elip (E) và hypebol (H) nói ở câu b) trong cùng một hệ trục tọa độ.

d) Viết phương trình của đường tròn đi qua các giao điểm của hai đường cônic nói trên.

Cho parabol \((P):{y^2} = 2px.\) Với mỗi điểm M trên (P) (M khác O), gọi M’ là hình chiếu của M trên  Oy  và  I  là trung điểm của đoạn OM’. Chứng minh rằng đường thẳng IM cắt parabol đã cho tại một điểm duy nhất.

Cho parabol \((P):{y^2} = {1 \over 2}x.\) Gọi M,N là hai điểm di động trên (P) sao cho \(OM \bot ON\) (M,N không trùng với O). Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.