Bài 3.47 trang 181 SBT giải tích 12

Tính thể tích các khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng xác định bởi

a) \(\displaystyle  y = {x^{\frac{2}{3}}},x = 0\) và tiếp tuyến với đường \(\displaystyle  y = {x^{\frac{2}{3}}}\) tại điểm có hoành độ \(\displaystyle  x = 1\), quanh trục \(\displaystyle  Oy\);

b) \(\displaystyle  y = \frac{1}{x} - 1,y = 0,y = 2x\), quanh trục \(\displaystyle  Ox\).

c) \(\displaystyle  y = \left| {2x - {x^2}} \right|,y = 0\) và \(\displaystyle  x = 3\), quanh :

* Trục \(\displaystyle  Ox\)

* Trục \(\displaystyle  Oy\)

a) \(\displaystyle  y = {x^{\frac{2}{3}}},x = 0\) và tiếp tuyến với đường \(\displaystyle  y = {x^{\frac{2}{3}}}\) tại điểm có hoành độ \(\displaystyle  x = 1\), quanh trục \(\displaystyle  Oy\);

Ta có: \(\displaystyle  y' = \frac{2}{3}{x^{ - \frac{1}{3}}}\).

Với \(\displaystyle  x = 1\) thì \(\displaystyle  y = 1\) và \(\displaystyle  y'\left( 1 \right) = \frac{2}{3}\). Tiếp tuyến \(\displaystyle  y = \frac{2}{3}\left( {x - 1} \right) + 1 = \frac{2}{3}x + \frac{1}{3}\)

Có \(\displaystyle  y = {x^{\frac{2}{3}}} \Rightarrow x = {y^{\frac{3}{2}}}\) và \(\displaystyle  y = \frac{2}{3}x + \frac{1}{3} \Rightarrow x = \frac{3}{2}y - \frac{1}{2}\)

Khi đó \(\displaystyle  {y^{\frac{3}{2}}} = \frac{3}{2}y - \frac{1}{2} \Rightarrow y = 1\). Ta có: \(\displaystyle  \frac{3}{2}y - \frac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow y = \frac{1}{3}\)

\(\displaystyle  V = \pi \int\limits_0^1 {{{\left( {{y^{\frac{3}{2}}}} \right)}^2}dy}  - \pi \int\limits_{\frac{1}{3}}^1 {{{\left( {\frac{3}{2}y - \frac{1}{2}} \right)}^2}dy} \)\(\displaystyle   = \pi \int\limits_0^1 {{y^3}dy}  - \pi \int\limits_{\frac{1}{3}}^1 {{{\left( {\frac{3}{2}y - \frac{1}{2}} \right)}^2}dy} \)

\(\displaystyle   = \pi .\left. {\frac{{{y^4}}}{4}} \right|_0^1 - \pi \int\limits_{\frac{1}{3}}^1 {\left( {\frac{9}{4}{y^2} - \frac{3}{2}y + \frac{1}{4}} \right)dy} \) \(\displaystyle   = \frac{\pi }{4} - \pi .\left. {\left( {\frac{3}{4}{y^3} - \frac{3}{4}{y^3} + \frac{1}{4}y} \right)} \right|_{\frac{1}{3}}^1\) \(\displaystyle   = \frac{\pi }{4} - \frac{{2\pi }}{9} = \frac{\pi }{{36}}\)

b) \(\displaystyle  y = \frac{1}{x} - 1,y = 0,y = 2x\), quanh trục \(\displaystyle  Ox\)

Ta có: \(\displaystyle  \frac{1}{x} - 1 = 2x \Rightarrow x = \frac{1}{2}\); \(\displaystyle  \frac{1}{x} - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1\); \(\displaystyle  2x = 0 \Leftrightarrow x = 0\).

Do đó \(\displaystyle  V = \pi \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {{{\left( {2x} \right)}^2}dx}  + \pi \int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {{{\left( {\frac{1}{x} - 1} \right)}^2}dx} \) \(\displaystyle   = \pi .\int\limits_0^{\frac{1}{2}} {4{x^2}dx}  + \pi .\int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {\left( {\frac{1}{{{x^2}}} - \frac{2}{x} + 1} \right)dx} \)

\(\displaystyle   = \pi .\left. {\frac{{4{x^3}}}{3}} \right|_0^{\frac{1}{2}} + \pi \left. {\left( { - \frac{1}{x} - 2\ln x + x} \right)} \right|_{\frac{1}{2}}^1\) \(\displaystyle   = \frac{\pi }{6} + \pi \left( {0 + 2 + 2\ln \frac{1}{2} - \frac{1}{2}} \right)\) \(\displaystyle   = \frac{\pi }{6} + \frac{{3\pi }}{2} - 2\pi \ln 2\)

\(\displaystyle   = \frac{{5\pi }}{3} - 2\pi \ln 2\)

c) \(\displaystyle  y = \left| {2x - {x^2}} \right|,y = 0\) và \(\displaystyle  x = 3\), quanh:

* Trục \(\displaystyle  Ox\)

* Trục \(\displaystyle  Oy\)

+) Quay quanh \(\displaystyle  Ox\).

Ta có: \(\displaystyle  \left| {2x - {x^2}} \right| = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\).

Khi đó \(\displaystyle  V = \pi \int\limits_0^3 {{{\left( {2x - {x^2}} \right)}^2}dx} \) \(\displaystyle   = \pi \int\limits_0^3 {\left( {4{x^2} - 4{x^3} + {x^4}} \right)dx} \) \(\displaystyle   = \pi \left. {\left( {\frac{{4{x^3}}}{3} - {x^4} + \frac{{{x^5}}}{5}} \right)} \right|_0^3\)

\(\displaystyle   = \pi \left( {\frac{{4.27}}{3} - {3^4} + \frac{{{3^5}}}{5}} \right) = \frac{{18\pi }}{5}\).

+) Quay quanh \(\displaystyle  Oy\).

Ta có: \(\displaystyle  y = \left| {2x - {x^2}} \right|\) \(\displaystyle   \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 2x - {x^2}\\y =  - 2x + {x^2}\end{array} \right.\) \(\displaystyle   \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - 2x + y = 0\\{x^2} - 2x - y = 0\end{array} \right.\) \(\displaystyle   \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 \pm \sqrt {1 - y} \\x = 1 \pm \sqrt {1 + y} \end{array} \right.\)

Dựng hình:

Ta có: \(\displaystyle  {V_y} = \pi \int\limits_0^1 {\left[ {{{\left( {1 + \sqrt {1 - y} } \right)}^2} - {{\left( {1 - \sqrt {1 - y} } \right)}^2}} \right]dy} \) \(\displaystyle   + \pi \int\limits_0^3 {\left[ {{3^2} - {{\left( {1 + \sqrt {1 + y} } \right)}^2}} \right]dy} \)

\(\displaystyle   = \pi \int\limits_0^1 {\left( {1 + 2\sqrt {1 - y}  + 1 - y - 1 + 2\sqrt {1 - y}  - 1 + y} \right)dy} \)\(\displaystyle   + \pi \int\limits_0^3 {\left( {9 - 1 - 2\sqrt {1 + y}  - 1 - y} \right)dy} \)

\(\displaystyle   = \pi \int\limits_0^1 {4\sqrt {1 - y} dy} \) \(\displaystyle   + \pi \int\limits_0^3 {\left( {7 - y - 2\sqrt {1 + y} } \right)dy} \)

\(\displaystyle   = 4\pi \int\limits_0^1 {\sqrt {1 - y} dy} \) \(\displaystyle   + \pi \left[ {\left. {\left( {7y - \frac{{{y^2}}}{2}} \right)} \right|_0^3 - 2\int\limits_0^3 {\sqrt {1 + y} dy} } \right]\) \(\displaystyle   = 4\pi I + \pi \left( {\frac{{33}}{2} - 2J} \right)\)

Tính \(\displaystyle  I = \int\limits_0^1 {\sqrt {1 - y} dy} \) ta có:

Đặt \(\displaystyle  \sqrt {1 - y}  = t \Rightarrow 1 - y = {t^2}\) \(\displaystyle   \Rightarrow  - dy = 2tdt \Rightarrow dy =  - 2tdt\)

\(\displaystyle   \Rightarrow I = \int\limits_1^0 {t.\left( { - 2tdt} \right)} \) \(\displaystyle   = \int\limits_0^1 {2{t^2}dt}  = \left. {\frac{2}{3}{t^3}} \right|_0^1 = \frac{2}{3}\)

Tính \(\displaystyle  J = \int\limits_0^3 {\sqrt {1 + y} dy} \) ta có:

Đặt \(\displaystyle  t = \sqrt {1 + y}  \Rightarrow {t^2} = 1 + y\) \(\displaystyle   \Rightarrow 2tdt = dy\) \(\displaystyle   \Rightarrow J = \int\limits_1^2 {t.2tdt}  = \left. {\frac{{2{t^3}}}{3}} \right|_1^2 = \frac{{14}}{3}\)

Vậy \(\displaystyle  V = 4\pi .\frac{2}{3} + \pi \left( {\frac{{33}}{2} - 2.\frac{{14}}{3}} \right) = \frac{{59\pi }}{6}\).