a) Ta có: \(y = x + 1 + {5 \over {x - 3}}\)
TXĐ: \(D =\mathbb R\backslash \left\{ 3 \right\}\)
Vì
\(\left\{ \matrix{
y'\left( 1 \right) = 0 \hfill \cr
y\left( 1 \right) = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
b = - 3 \hfill \cr
c = 0 \hfill \cr} \right.\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} y = + \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} y = - \infty \) nên \(x = 3\) là tiệm cận đứng.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y - \left( {x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {5 \over {x - 3}} = 0\) nên \(y = x + 1\) là tiệm cận xiên.
b) Tọa độ giao điểm \(I(x;y)\) của hai tiệm cận là nghiệm của hệ phương trình
\(\left\{ \matrix{ x = 3 \hfill \cr y = x + 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = 3 \hfill \cr y = 4 \hfill \cr} \right.\)
Vậy \(I(3;4)\) là giao điểm của hai tiệm cận trên.
Công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo véc tơ \(\overrightarrow {OI} \) là
\(\left\{ \matrix{ x = X + 3 \hfill \cr y = Y + 4 \hfill \cr} \right.\)
c) Phương trình của đường cong \((C)\) đối với hệ tọa độ \(IXY\) là
\(Y + 4 = X + 3 + 1 + {5 \over {X + 3 - 3}} \Leftrightarrow Y = X + {5 \over X}\)
Đây là hàm số lẻ, do đó \((C)\) nhận gốc tọa độ \(I\) làm tâm đối xứng.
