a) \(\dfrac{1}{{2x - 3}} - \dfrac{3}{{x\left( {2x - 3} \right)}} = \dfrac{5}{x}\)
ĐKXĐ: \(x \ne 0;x \ne \dfrac{3}{2}\)
Quy đồng mẫu hai vế ta có:
\(\dfrac{x}{{x.(2x - 3)}} - \dfrac{3}{{x\left( {2x - 3} \right)}} \)\(\,= \dfrac{{5.(2x - 3)}}{{x.(2x - 3)}} \)
\(\Leftrightarrow \dfrac{{x - 3}}{{x\left( {2x - 3} \right)}} = \dfrac{{5.(2x - 3)}}{{x.(2x - 3)}}\)
Khử mẫu ta được:
\(x - 3 = 5\left( {2x - 3} \right) \)
\( \Leftrightarrow x - 3 = 10x - 15\)
\( \Leftrightarrow- 9x = - 12\)
\(\Leftrightarrow x = \dfrac{{ - 12}}{{ - 9}}\)
\(\Leftrightarrow x = \dfrac{4}{3}\) ( thỏa mãn ĐKXĐ).
Vậy phương trình có nghiệm \(x = \dfrac{4}{3}\).
b) \(\dfrac{{x + 2}}{{x - 2}} - \dfrac{1}{x} = \dfrac{2}{{x\left( {x - 2} \right)}}\)
ĐKXĐ:\(x \ne 0;\;x \ne 2\)
Quy đồng mẫu hai vế ta có:
\(\dfrac{{x(x + 2)}}{{x(x - 2)}} - \dfrac{{x - 2}}{{x(x - 2)}} = \dfrac{2}{{x\left( {x - 2} \right)}} \)
\( \Leftrightarrow \dfrac{{x(x + 2) - (x - 2)}}{{x(x - 2)}} = \dfrac{2}{{x\left( {x - 2} \right)}}\)
Khử mẫu ta được:\(x\left( {x + 2} \right) - \left( {x - 2} \right) = 2 \)
\( \Leftrightarrow {x^2} + 2x - x + 2 = 2\)
\( \Leftrightarrow {x^2} + x = 0\)
\(\Leftrightarrow x \left( {x + 1} \right) = 0\)
\(\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = 0} \cr {x + 1 = 0} \cr} \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = 0 }\text{ (loại)} \cr {x = - 1} \text{ (thỏa mãn)}\cr} } \right.} \right.\)
Vậy phương trình có nghiệm \(x =-1\)
c) \(\dfrac{{x + 1}}{{x - 2}} + \dfrac{{x - 1}}{{x + 2}} = \dfrac{{2\left( {{x^2} + 2} \right)}}{{{x^2} - 4}}\)
ĐKXĐ : \(x \ne 2;\; x \ne - 2\)
Quy đồng mẫu hai vế ta có:
\(\dfrac{{(x + 1)(x + 2)}}{{{x^2} - 4}} + \dfrac{{(x - 1)(x - 2)}}{{{x^2} - 4}}\)\(\, = \dfrac{{2\left( {{x^2} + 2} \right)}}{{{x^2} - 4}}\)
\(\Leftrightarrow \dfrac{{(x + 1)(x + 2) + (x - 1)(x - 2)}}{{{x^2} - 4}} \)\(\,= \dfrac{{2\left( {{x^2} + 2} \right)}}{{{x^2} - 4}}\)
Khử mẫu ta được:
\(\Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right) + \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) \)\(\,= 2\left( {{x^2} + 2} \right)\)
\(\Leftrightarrow {x^2} + x + 2x + 2 + {x^2} - x - 2x + 2 \) \(=2{x^2} + 4\)
\(\Leftrightarrow 2{x^2} + 4 = 2{x^2} + 4\)
\(\Leftrightarrow 0x = 0 \left( \text{ luôn đúng } {\forall x \in\mathbb R} \right)\)
Mà ĐKXĐ :\(x \ne \pm 2\)
Vậy phương trình có vô số nghiệm \(x \in\mathbb R;x \ne 2;x \ne - 2\).
d) \(\left( {2x + 3} \right)\left( {\dfrac{{3x + 8}}{{2 - 7x}} + 1} \right) \)\(\,= \left( {x - 5} \right)\left( {\dfrac{{3x + 8}}{{2 - 7x}} + 1} \right)\) ĐKXĐ: \(x \ne \dfrac{2}{7}\)
Phương trình đã cho tương đương với:
\(\left( {\dfrac{{3x + 8}}{{2 - 7x}} + 1} \right)\left( {2x + 3 - x + 5} \right) = 0 \)
\( \Leftrightarrow \left( {\dfrac{{3x + 8 + 2 - 7x}}{{2 - 7x}}} \right)\left( {x + 8} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {\dfrac{{10 - 4x}}{{2 - 7x}}} \right)\left( {x + 8} \right) = 0\)
\(\Rightarrow \left( {10 - 4x} \right)\left( {x + 8} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{{10 - 4x = 0} \cr {x + 8 = 0} \cr}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left[\matrix{{x = \dfrac{5}{2}}\text{( thỏa mãn)} \cr {x = - 8}\text{ (thỏa mãn)} \cr} \right. \)
Cả hai giá trị đều thỏa mãn ĐKXĐ.
Vậy phương trình có hai nghiệm :\(x = \dfrac{5}{2};\; x = - 8\)
