Nối \(BD, AD\) và \(CD\).
Từ hình vẽ ta có:
\(DK\) là đường trung trực của \(AC\) suy ra: \( AD = CD\) (theo định lí 2) (1)
\(DI\) là đường trung trực của \(AB\) suy ra: \(BD = AD\) (theo định lí 2) (2)
Từ (1) và (2) ta có: \(BD = AD = CD\)
Xét \(ΔADK\) và \(ΔCDK\) có:
+) \( AD = CD\) (chứng minh trên)
+) \( DK\) chung
+) \( AK = KC\) (giả thiết)
Vậy \(ΔADK = ΔCDK\) (c.c.c)
\( \Rightarrow\) \(\widehat{ADK}= \widehat{CDK}\) (hai góc tương ứng)
hay \(DK\) là tia phân giác của \(\widehat{ADC}\)
\( \Rightarrow\) \(\widehat{ADK}= \dfrac{1}{2}\widehat{ADC}\)
Xét \(∆ADI\) và \(∆BDI\) có:
+) \(DI\) chung
+) \(AD=BD\) (chứng minh trên)
+) \(AI=BI\) (giả thiết)
Vậy \(∆ADI = ∆BDI\) (c.c.c)
\( \Rightarrow\) \(\widehat{ADI}= \widehat{BDI}\) (hai góc tương ứng)
\( \Rightarrow\) \(DI\) là tia phân giác của \(\widehat{ADB}\)
\( \Rightarrow\) \(\widehat{ADI} = \dfrac{1}{2}\widehat{ADB}\)
Vì \(AC // DI\) ( cùng vuông góc với \(AB\)) mà \(DK ⊥ AC\)
\( \Rightarrow DK ⊥ DI\)
hay \(\widehat{ADK}\) + \(\widehat{ADI} = {90^0}\)
Do đó \(\dfrac{1}{2}\widehat{ADC} + \dfrac{1}{2} \widehat{ADB} = {90^0}\)
\( \Rightarrow\widehat{ADC} + \widehat{ADB}= {180^0}\)
Vậy \(B, D, C\) thẳng hàng (điều phải chứng minh).
