Câu 1. Hàm số \(y = \dfrac{{2x - 1}}{{x + 1}}\) có tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\) .
Lấy \({x_1},{x_2} \in D,{x_1} \ne {x_2}\) .
Lập tỉ số
\(\begin{array}{l}k = \dfrac{{f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}}\\\;\; = \dfrac{{\dfrac{{2{x_2} - 1}}{{{x_2} + 1}} - \dfrac{{2{x_1} - 1}}{{{x_1} + 1}}}}{{{x_2} - {x_1}}}\\\;\; = \dfrac{{\left( {2{x_2} - 1} \right)\left( {{x_1} + 1} \right) - \left( {2{x_1} - 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right)}}{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right)}}\end{array}\)
\(\begin{array}{l}\;\; = \dfrac{{3{x_2} - 3{x_1}}}{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right)}}\\ \;\;= \dfrac{3}{{\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right)}}\end{array}\)
Nếu \({x_1},{x_2} \in \left( { - \infty ; - 1} \right)\) thì \({x_1} < - 1,{x_2} < - 1\) .Suy ra \({x_1} + 1 < 0,{x_2} + 1 < 0\) . Do đó k > 0. Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) .
Nếu \({x_1},{x_2} \in \left( { - 1; + \infty } \right)\) thì \({x_1} > - 1,{x_2} > - 1\). Suy ra \({x_1} + 1 > 0,{x_2} + 1 > 0\) . Do đó k > 0. Vây hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - 1; + \infty } \right)\)
Câu 2. Hàm số \(f(x) = \dfrac{{\sqrt {5 + 2x} - \sqrt {5 - 2x} }}{x}\) được xác định khi và chỉ khi
\(\left\{ \begin{array}{l}5 + 2x \ge 0\\5 - 2x \ge 0\\x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - \dfrac{5}{2}\\x \le \dfrac{5}{2}\\x \ne 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \dfrac{5}{2} \le x \le \dfrac{5}{2}\\x \ne 0\end{array} \right.\)
Vậy hàm số có tập xác định \(D = \left[ { - \dfrac{5}{2};0} \right) \cup \left( {0;\dfrac{5}{2}} \right]\) .
Với mọi \(x \in D\) ta có
\( - x \in D\)
\(\begin{array}{l}f\left( { - x} \right) = \dfrac{{\sqrt {5 - 2x} - \sqrt {5 + 2x} }}{{ - x}}\\{\rm{ }} = \dfrac{{\sqrt {5 + 2x} - \sqrt {5 - 2x} }}{x} = f(x)\end{array}\)
Vậy hàm số \(f(x) = \dfrac{{\sqrt {5 + 2x} - \sqrt {5 - 2x} }}{x}\) là hàm số chẵn.
Câu 3.
Ta có:
\(y = \left\{ \begin{array}{l}2\left( { - x + 1} \right) - \left( { - x - 1} \right){\rm{\; khi\; x < - 1}}\\{\rm{2}}\left( { - x + 1} \right) - \left( {x + 1} \right){\rm{ khi - 1}} \le {\rm{x}} \le {\rm{1}}\\{\rm{2}}\left( {x - 1} \right) - \left( {x + 1} \right){\rm{ khi x > 1}}\end{array} \right.\\\;\; = \left\{ \begin{array}{l} - x + 3{\rm{ khi x < - 1}}\\{\rm{ - 3x + 1 khi - 1}} \le {\rm{x}} \le {\rm{1}}\\{\rm{x - 3 khi x > 1}}\end{array} \right.\)
Đồ thị
