Câu 1.
Ta có \({m^2}x + 1 = mx + m \)
\(\Leftrightarrow \left( {{m^2} - m} \right)x = m - 1\)
\({m^2} - m \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m \ne 1\end{array} \right.\)
Phương trình có nghiệm duy nhất \(x = \dfrac{{m - 1}}{{{m^2} - m}} = \dfrac{1}{m}\)
\({m^2} - m = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 1\end{array} \right.\)
+ Với \(m=0\) phương trình trở thành \(0x = -1\). Phương trình vô nghiệm.
+ Với \(m=1\) phương trình trở thành \(0x = 0\). Phương trình nghiệm đúng với mọi \(x \in \mathbb{R}\) .
Kết luận
\(m \ne 0\) và \(m \ne 1\) : Phương trình có tập nghiệm \(S = \left\{ {\dfrac{1}{m}} \right\}\) .
\(m =0\) phương trình có tập nghiệm \(S = \emptyset \) .
\(m = 1\) Phương trình có tập nghiệm \(S = \mathbb{R}\)
Câu 2.
Điều kiện để phương trình \(\left( {m - 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + m - 2 = 0\) có hai nghiệm phân biệt
\(\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta ' > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 1 \ne 0\\5m - 1 > 0\end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\m > \dfrac{1}{5}\end{array} \right.\)
Khi đó \({x_1} + {x_2} = \dfrac{{2\left( {m + 1} \right)}}{{m - 1}},{\rm{ }}{{\rm{x}}_1}{x_2} = \dfrac{{m - 2}}{{m + 1}}\) .
Suy ra \(x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} \)\(\;= \dfrac{{4{{\left( {m + 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {m - 1} \right)}^2}}} - \dfrac{{2\left( {m - 2} \right)}}{{m - 1}}\)\(\; = \dfrac{{2{m^2} + 14m}}{{{{\left( {m - 1} \right)}^2}}}\) .
Do đó: \(x_1^2 + x_2^2 = 36 \Leftrightarrow \dfrac{{2{m^2} + 14m}}{{{{\left( {m - 1} \right)}^2}}} = 36\)
\( \Leftrightarrow 17{m^2} - 43m + 18 = 0\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\\m = \dfrac{9}{{17}}\end{array} \right.\) (thỏa mãn điều kiện).
Vậy các giá trị cần tìm là \(m = 2\) và \(m = \dfrac{9}{{17}}\).
